- Considere a transformação linear
, definida por
.
a) (1,0 ponto) Mostre que
é um isomorfismo.
b) (1,0 ponto) Determine
.
a) (1,0 ponto) Mostre que
b) (1,0 ponto) Determine
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O que precisamos mostrar em (a) é que
é um isomorfismo (isto é, bijetiva e linear invertível) e em (b) determinar explicitamente
.
Passo 2
Para mostrar que
é um isomorfismo, basta ver que a matriz associada a
em relação à base canônica é
O determinante de
A é
Como
det(A)neq0 , a transformação é invertível (logo injetiva e sobrejetiva). Portanto,
T é um isomorfismo.
Passo 3
Para encontrar
Da primeira equação vem ,
Se renomearmos
de volta para
, ficamos com
Resposta
Em (a)
T é um isomorfismo pois
det A = 1neq0 .
Em (b)
Em (b)