1. Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(x-4 y, 2 x-7 y).
    a) (1,0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo.
    b) (1,0 ponto) Determine T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (,x - 4y,;2x - 7y,)
O que precisamos mostrar em (a) é que T é um isomorfismo (isto é, bijetiva e linear invertível) e em (b) determinar explicitamente T^-1.

Passo 2

Para mostrar que T é um isomorfismo, basta ver que a matriz associada a T em relação à base canônica é
A = 1 & -4 2 & -7
O determinante de A é
det(A) = 1cdot(-7) - (-4)cdot 2 = -7 + 8 = 1 neq 0
Como det(A)neq0, a transformação é invertível (logo injetiva e sobrejetiva). Portanto, T é um isomorfismo.

Passo 3

Para encontrar
Da primeira equação vem ,
Se renomearmos de volta para , ficamos com

Resposta

Em (a) T é um isomorfismo pois det A = 1neq0.
Em (b)
T^-1(x,y) = (,4y - 7x,;y - 2x,)

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