Ache u tal que |u|=3 raiz3 e u é ortogonal a
v=(2,3,1) e a w=(2,4,6). Dos u encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec u tal que |vec u|=3raiz3 e vec u seja ortogonal a
vec v=(2,3,1) e a vec w=(2,4,6). Vamos usar produto vetorial para achar uma direção ortogonal a ambos e depois ajustar o módulo.

Passo 2

Como vec uperpvec v e vec uperpvec w, concluímos que vec u é paralelo a vec vtimesvec w. Calculamos:
vec vtimesvec w =det i&j&k 2&3&1 2&4&6 =(3cdot6-1cdot4),i-(2cdot6-1cdot2),j+(2cdot4-3cdot2),k =(14,-10,2)
Então vec u=lambda,(14,-10,2).

Passo 3

Calculamos a norma de vec vtimesvec w:
|vec vtimesvec w| =raiz14^2+(-10)^2+2^2 =raiz196+100+4 =raiz300 =10raiz3
Queremos |lambda(vec vtimesvec w)|=3raiz3, ou seja
|lambda|;10raiz3=3raiz3 Longrightarrow |lambda|=tfrac310
Logo lambda=+tfrac310 ou lambda=-tfrac310.

Passo 4

As duas soluções são
vec u1=tfrac310(14,-10,2) =l(tfrac215,-3,tfrac35r), vec u2=-tfrac310(14,-10,2) =l(-tfrac215,3,-tfrac35r)

Passo 5

Para escolher a que forma ângulo agudo com (1,0,0), calculamos o produto escalar:
vec u1cdot(1,0,0)=tfrac215>0, vec u2cdot(1,0,0)=-tfrac215<0
Produto escalar positivo indica ângulo agudo. Portanto a solução desejada é vec u1.

Resposta

vec u=l(tfrac215,-3,tfrac35r)

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