Determine o domínio de f em cada caso e o valor de f nos pontos indicados:
f(x, y, z)=raiz25-x^2-y^2-z^2 ;(1,-2,2) e (-3,0,2)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y,z)=raiz25 - x^2 - y^2 - z^2
e os valores de f em (1,-2,2) e em (-3,0,2). Vamos usar a condição de existência da raiz quadrada: o radicando deve ser não-negativo.

Passo 2

Para a função estar definida, precisamos de
25 - x^2 - y^2 - z^2 ;>=; 0,
ou seja
x^2 + y^2 + z^2 ;<=; 25
Logo o domínio é a bola fechada de raio 5 em R^3.

Passo 3

Em (1,-2,2) temos
x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9,
então
f(1,-2,2) = raiz25 - 9 = raiz16 = 4

Passo 4

Em (-3,0,2) temos
x^2 + y^2 + z^2 = (-3)^2 + 0^2 + 2^2 = 9 + 0 + 4 = 13,
logo
f(-3,0,2) = raiz25 - 13 = raiz12 = 2raiz3

Resposta

O domínio de f é
(x,y,z)inR^3 mid x^2 + y^2 + z^2 <= 25
f(1,-2,2)=4.
f(-3,0,2)=2raiz3.

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