Calcule
integral duplaR 9-6 y^2x^2 d x d y, sendo R a região no 1 o quadrante limitada por y=x^3 e y=4 x ã

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(9 - 6y^2x^2r),dx,dy,
onde R é a região do 1º quadrante entre as curvas
y = x^3 e y = 4x
Isso é conteúdo de Cálculo II (integrais duplas).
O que vamos precisar:
  1. Desenhar/entender a região R.
  2. Encontrar onde as curvas se cruzam (limites em x).
  3. Montar a integral iterada e usar as regras de integração de potências para resolver.

Passo 2

Primeiro, achamos a intersecção de y=x^3 e y=4x:
x^3 = 4x ;Longrightarrow; x(x^2 - 4)=0 ;Longrightarrow; x = 0,;x=pm2
No 1º quadrante, fica xin[0,2].
Para cada x nesse intervalo, y vai de y=x^3 (curva de baixo) até y=4x (curva de cima).

Passo 3

Montando a integral iterada em ordem dy,dx:
integral duplaRl(9 - tfrac6y^2x^2r),dA = integralx=0^2!integraly=x^3^4xl(9 - tfrac6y^2x^2r),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y.
Separamos:
integrall(9 - tfrac6y^2x^2r)dy = integral 9,dy ;-;integral tfrac6y^2x^2,dy
  1. integral 9,dy = 9y
  2. integral tfrac6y^2x^2,dy = tfrac6x^2,y^33 = tfrac2y^3x^2
    Logo,
integraly=x^3^4xl(9 - tfrac6y^2x^2r)dy = l[,9y - tfrac2y^3x^2r]y=x^3^4x = l(36x - 9x^3r) ;-;l(128x - 2x^7r) = -92x ;-;9x^3 ;+;2x^7

Passo 5

Agora integramos esse resultado em x de 0 a 2:
integral0^2l(-92x - 9x^3 + 2x^7r),dx
Separando em três integrais:
  1. integral0^2-92x,dx = -92cdotx^22|0^2 = -46,(4) = -184
  2. integral0^2-9x^3,dx = -9cdotx^44|0^2 = -94(16) = -36
  3. integral0^22x^7,dx = 2cdotx^88|0^2 = x^84|0^2 = 2564 = 64
Somando:
-184 ;-;36 ;+;64 ;=; -156

Resposta

boxed-156

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