O vetor v=(-1,-1,-2) forma um ângulo de 60^circ com o vetor A B, onde A=(0,3,4) e B=(m, 1,2). Calcular o valor de m.

Passo 1

O enunciado dá o vetor vec v = (-1,-1,-2) e pede que encontremos m tal que o ângulo entre vec v e AB seja 60^circ, onde
A=(0,3,4), B=(m,1,2)
O conteúdo necessário é a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = vec vcdot vec w|vec v||vec w|,
com theta=60^circ.

Passo 2

Calculamos o vetor AB = B - A:
AB = (m-0,;1-3,;2-4) = (m,,-2,,-2)

Passo 3

Aplicamos a fórmula do cosseno para theta=60^circ, sabendo que cos60^circ = tfrac12:
vec vcdot AB|vec v|;|AB| = 12

Passo 4

Calculamos produto escalar e normas:
vec vcdot AB = (-1),m + (-1)(-2) + (-2)(-2) = -m + 2 + 4 = 6 - m,
|vec v| = raiz(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2 = raiz6, |AB| = raizm^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raizm^2 + 8

Passo 5

Substituindo na fórmula:
6 - mraiz6,raizm^2+8 = 12 Longrightarrow 2(6 - m) = raiz6,raizm^2+8
Elevando ao quadrado:
4(6 - m)^2 = 6,(m^2 + 8)
Expandindo e reorganizando:
4(m^2 - 12m + 36) = 6m^2 + 48 Longrightarrow 4m^2 - 48m + 144 = 6m^2 + 48
Longrightarrow 2m^2 + 48m - 96 = 0 Longrightarrow m^2 + 24m - 48 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática m^2 + 24m - 48 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
m = -24 pm raiz24^2 + 4cdot482 = -24 pm raiz576 + 1922 = -24 pm raiz7682 = -24 pm 16raiz32 = -12 pm 8raiz3

Resposta

m = -12 + 8raiz3 ou m = -12 - 8raiz3

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