Ache a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo dado. E ache também a taxa instantânea de variação de y em relação a x no ponto extremo esquerdo do intervalo.
y=x^{2}+2
[3;3.5]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função y = x^2 + 2 no intervalo de x=3 até x=3{,}5:
  1. A taxa de variação média de y em relação a x nesse intervalo.
  2. A taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto extremo esquerdo x=3.
    O conteúdo é cálculo de taxa média (diferença quociente) e taxa instantânea (derivada).

Passo 2

A taxa de variação média de y em relação a x entre x=a e x=b é dada por
\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y(b)-y(a)}{b-a}.

Passo 3

Primeiro calculamos y(3) e y(3{,}5):
y(3)=3^2+2=9+2=11,
y(3{,}5)=(3{,}5)^2+2=12{,}25+2=14{,}25.
Logo,
\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{14{,}25-11}{3{,}5-3} =\frac{3{,}25}{0{,}5} =6{,}5.
Portanto, a taxa de variação média é 6{,}5.

Passo 4

A taxa de variação instantânea de y em relação a x é a derivada
y'(x)=\frac{d}{dx}(x^2+2)=2x.

Passo 5

No ponto extremo esquerdo x=3, temos
y'(3)=2\cdot3=6.
Então a taxa instantânea nesse ponto é 6.

Resposta

Taxa de variação média: 6{,}5
Taxa de variação instantânea em x=3: 6

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