Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-9}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-9}}.
Estamos no conteúdo de derivadas de funções compostas, usando a regra da cadeia. Vamos reescrever a função numa forma de potência e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo y como potência, temos
y = (x^{2}-9)^{-\tfrac{1}{3}}.
Aplicando a regra da cadeia, a derivada é
y' = -\tfrac{1}{3}(x^{2}-9)^{-\tfrac{1}{3}-1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-9).
Como \frac{d}{dx}(x^{2}-9)=2x, fica
y' = -\tfrac{1}{3}(x^{2}-9)^{-\tfrac{4}{3}}\cdot 2x = -\frac{2x}{3\,(x^{2}-9)^{\tfrac{4}{3}}}.

Resposta

y' = -\frac{2x}{3\,(x^{2}-9)^{\tfrac{4}{3}}}.

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