Ache todas as assíntotas do gráfico de cada função:
h(x)=4 x^2raizx^2+5 x+4

Passo 1

O enunciado pede todas as assíntotas da função
h(x)=4x^2raizx^2+5x+4
O conteúdo envolvido é o estudo de assíntotas verticais (quando o denominador se anula dentro do domínio) e assíntotas no infinito (horizontais ou oblíquas) usando limites e expansões assintóticas.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio resolvendo
x^2+5x+4>0
Fatorando,
(x+1)(x+4)>0
x<-4ou x>-1
Como em x=-4 e x=-1 o radicando zera, são candidatos a assíntotas verticais. De fato,
para xto -4^- temos
raiz(x+1)(x+4)simraiz-3,(x+4)to0^+,
logo h(x)to+infty, e para xto -1^+ temos
raiz(x+1)(x+4)simraiz3,(x+1)to0^+,
logo h(x)to+infty. Assim existem assíntotas verticais em
x=-4 e x=-1

Passo 3

Analisamos agora xto+infty. Escrevemos
raizx^2+5x+4 = xraiz1+5x+4x^2 = xl(1+52x+Ol(tfrac1x^2r)r) = x+52+Ol(tfrac1xr)
Logo
h(x) =4x^2raizx^2+5x+4 =4x^2x+52+O(tfrac1x) =4x-10+Ol(tfrac1xr)
Isso mostra uma assíntota oblíqua
y=4x-10 (xto+infty)

Passo 4

Para xto-infty, temos |x|=-x e
raizx^2+5x+4 =-xraiz1+5x+4x^2 =-x-52+Ol(tfrac1xr)
Assim
h(x) =4x^2-x-tfrac52+O(tfrac1x) =-4x+10+Ol(tfrac1xr),
indicando uma assíntota oblíqua
y=-4x+10 (xto-infty)

Resposta

Assíntotas verticais:
x=-4, x=-1
Assíntotas oblíquas:
y=4x-10(para xto+infty), y=-4x+10(para xto-infty)

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