Ache todas as possibilidades para o polinômio minimal de um operador
com o poliômio caraterístico
(1)
;
(2)
;
(3)
com
.
Em quais dos casos acima consegue concluir que
é diagonalizável?
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os possíveis polinômios mínimos de um operador linear
cujos polinômios característicos são dados em três situações diferentes, e depois determinar em quais casos podemos concluir que
é diagonalizável. Vamos usar a teoria de que o polinômio mínimo
deve dividir o polinômio característico e ter exatamente os mesmos fatores lineares, com expoentes entre 1 e os das raízes no característico.
Passo 2
A teoria essencial é: se o polinômio característico se fatoriza como
, então o polinômio mínimo é
onde
. Além disso,
é diagonalizável se e somente se todos os
, isto é,
não tem raízes repetidas.
Passo 3
Para o caso (1), o característico é
. Logo os expoentes do mínimo podem variar em cada fator:
para a raiz
e
para a raiz
. Assim as possibilidades são
Passo 4
No caso (2), o característico é
, todas as raízes são simples (expoente 1). Portanto o único polinômio mínimo possível tem de conter cada fator uma vez, isto é,
Passo 5
No caso (3), o característico é
com
. Então o polinômio mínimo pode ser qualquer potência
Passo 6
Para a diagonalizabilidade precisamos que o polinômio mínimo não tenha fator repetido, ou seja, todos os expoentes sejam 1. Isso significa que:
- No caso (1) só é diagonalizável quando
, ou seja . - No caso (2) as raízes já são simples, logo
é sempre diagonalizável. - No caso (3) só é diagonalizável quando
, ou seja .
Resposta
Caso (1):
com
,
.\nCaso (2):
.\nCaso (3):
com
.\n\nDiagonizável em (1) apenas se
; em (2) sempre; em (3) apenas se
.