Ache todas as possibilidades para o polinômio minimal de um operador F: R^5 R^5 com o poliômio caraterístico
(1) (x-3)^3(x-2)^2;
(2) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5);
(3) (x-1)^m com m in1, ldots, 5.
Em quais dos casos acima consegue concluir que F é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os possíveis polinômios mínimos de um operador linear F: R^5to R^5 cujos polinômios característicos são dados em três situações diferentes, e depois determinar em quais casos podemos concluir que F é diagonalizável. Vamos usar a teoria de que o polinômio mínimo mF(x) deve dividir o polinômio característico e ter exatamente os mesmos fatores lineares, com expoentes entre 1 e os das raízes no característico.

Passo 2

A teoria essencial é: se o polinômio característico se fatoriza como (x-lambda1)^a1cdots(x-lambdar)^ar, então o polinômio mínimo é (x-lambda1)^k1cdots(x-lambdar)^kr onde 1<= ki<= ai. Além disso, F é diagonalizável se e somente se todos os ki=1, isto é, mF(x) não tem raízes repetidas.

Passo 3

Para o caso (1), o característico é (x-3)^3(x-2)^2. Logo os expoentes do mínimo podem variar em cada fator: k1=1,2,3 para a raiz 3 e k2=1,2 para a raiz 2. Assim as possibilidades são
mF(x)=(x-3)^k1(x-2)^k2, k1in1,2,3,;k2in1,2

Passo 4

No caso (2), o característico é (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5), todas as raízes são simples (expoente 1). Portanto o único polinômio mínimo possível tem de conter cada fator uma vez, isto é,
mF(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Passo 5

No caso (3), o característico é (x-1)^m com min1,dots,5. Então o polinômio mínimo pode ser qualquer potência
mF(x)=(x-1)^k, k=1,2,dots,m

Passo 6

Para a diagonalizabilidade precisamos que o polinômio mínimo não tenha fator repetido, ou seja, todos os expoentes sejam 1. Isso significa que:
  • No caso (1) só é diagonalizável quando k1=k2=1, ou seja mF(x)=(x-3)(x-2).
  • No caso (2) as raízes já são simples, logo F é sempre diagonalizável.
  • No caso (3) só é diagonalizável quando k=1, ou seja mF(x)=x-1.

Resposta

Caso (1): mF(x)=(x-3)^k1(x-2)^k2 com k1in1,2,3, k2in1,2.\nCaso (2): mF(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).\nCaso (3): mF(x)=(x-1)^k com k=1,2,dots,m.\n\nDiagonizável em (1) apenas se k1=k2=1; em (2) sempre; em (3) apenas se k=1.

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