Encontre exemplos, se existam, de operadores
lineares tais que
(1)
não seja
-cíclico;
(1)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um operador linear
tal que não exista vetor
cujas potências
formem uma base de
. O conteúdo aqui é o conceito de vetor cíclico para um operador linear e o critério de existência de um polinômio mínimo de grau igual à dimensão de
.
Passo 2
Um vetor
é chamado
-cíclico se o conjunto
for base de
. Equivalentemente, o polinômio mínimo de
deve ter grau
.
Passo 3
Para obter um exemplo, basta escolher uma dimensão
e tomar o operador nulo. Mais precisamente, seja
com
e defina
para todo
.
Passo 4
Para esse operador, qualquer vetor
satisfaz
para todo
. Logo o conjunto
tem no máximo um vetor não nulo e não pode gerar
de dimensão
. Portanto,
não é
-cíclico.
Resposta
Um exemplo simples é o operador nulo
em um espaço
de dimensão
, pois nenhum vetor gera
através de suas iterações por
.