Encontre exemplos, se existam, de operadores F: V V lineares tais que
(1) V não seja F-cíclico;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um operador linear Fcolon Vto V tal que não exista vetor vin V cujas potências v, Fv, F^2v,dots,F^n-1v formem uma base de V. O conteúdo aqui é o conceito de vetor cíclico para um operador linear e o critério de existência de um polinômio mínimo de grau igual à dimensão de V.

Passo 2

Um vetor v é chamado F-cíclico se o conjunto v,,Fv,,F^2v,dots, F^n-1v for base de V. Equivalentemente, o polinômio mínimo de F deve ter grau n=dim V.

Passo 3

Para obter um exemplo, basta escolher uma dimensão n>=2 e tomar o operador nulo. Mais precisamente, seja V=K^n com n>=2 e defina F(v)=0 para todo vin V.

Passo 4

Para esse operador, qualquer vetor vneq0 satisfaz F^k(v)=0 para todo k>=1. Logo o conjunto v, Fv, F^2v,dots tem no máximo um vetor não nulo e não pode gerar V de dimensão n. Portanto, V não é F-cíclico.

Resposta

Um exemplo simples é o operador nulo F(v)=0 em um espaço V de dimensão >=2, pois nenhum vetor gera V através de suas iterações por F.

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