Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da hipérbole cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
Os vértices são
e os focos são
.
Os vértices são
Passo 1
A questão pede a equação reduzida e a excentricidade de uma hipérbole com centro em (0,0), eixo transverso ao longo do eixo x, vértices em (±2,0) e focos em (±3,0). Vamos usar a forma padrão da hipérbole e a relação entre parâmetros.
Passo 2
Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, a forma padrão é
em que os vértices são (±a,0) e os focos são (±c,0). Comparando com os dados, temos a = 2 e c = 3.
Passo 3
Usamos a relação que liga a, b e c em hipérboles:
Substituindo a = 2 e c = 3, obtemos
Logo, b =
.
Passo 4
Substituindo a² = 4 e b² = 5 na forma padrão, a equação reduzida da hipérbole é
Passo 5
A excentricidade de uma hipérbole é dada por
. Aqui temos
Resposta
Equação reduzida:
; excentricidade:
.