Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da hipérbole cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
Os vértices são ( pm 2,0) e os focos são ( pm 3,0).

Passo 1

A questão pede a equação reduzida e a excentricidade de uma hipérbole com centro em (0,0), eixo transverso ao longo do eixo x, vértices em (±2,0) e focos em (±3,0). Vamos usar a forma padrão da hipérbole e a relação entre parâmetros.

Passo 2

Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, a forma padrão é
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
em que os vértices são (±a,0) e os focos são (±c,0). Comparando com os dados, temos a = 2 e c = 3.

Passo 3

Usamos a relação que liga a, b e c em hipérboles:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo a = 2 e c = 3, obtemos
b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 4 = 5
Logo, b = raiz5.

Passo 4

Substituindo a² = 4 e b² = 5 na forma padrão, a equação reduzida da hipérbole é
x^24 - y^25 = 1 .

Passo 5

A excentricidade de uma hipérbole é dada por e = c/a. Aqui temos
e = 32 .

Resposta

Equação reduzida: tfracx^24 - tfracy^25 = 1; excentricidade: e = tfrac32.

Exercícios relacionados