Encontre exemplos, se existam, de operadores
lineares tais que
(2)
tenha dimensão 4 e contenha um subespaço
-cíclico de dimensão 3;
(2)
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
com
que tenha um subespaço F-cíclico de dimensão 3. O assunto aqui é subespaço cíclico e polinômio mínimo, e vamos precisar usar a definição de subespaço cíclico gerado por um vetor e como escolher um operador cuja órbita de um vetor tenha exatamente três vetores independentes.
Passo 2
Um subespaço
é dito F-cíclico se existir
tal que
e
se e só se
forem linearmente independentes, mas
for combinação linear deles. Isso está ligado ao fato de o polinômio mínimo de
ter grau 3.
Passo 3
Vamos escolher
com base padrão
e definir
de modo que a órbita de
tenha exatamente três vetores independentes e matar tudo depois. Por exemplo:
Essa definição estende-se linearmente a todo
, definindo um operador.
Passo 4
Agora verificamos que o subespaço
é F-cíclico de dimensão 3. De fato,
são três vetores independentes, e
é combinação trivial. Logo
é gerado ciclicamente por
e
.
Passo 5
Assim construímos um operador em
que satisfaz o pedido:
tem dimensão 4 e contém um subespaço F-cíclico de dimensão 3.
Resposta
Por exemplo, em
na base
, tome
Então o subespaço
é F-cíclico de dimensão 3.