Encontre exemplos, se existam, de operadores F: V V lineares tais que
(2) V tenha dimensão 4 e contenha um subespaço F-cíclico de dimensão 3;

Passo 1

O enunciado pede um operador linear F:Vto V com dim V=4 que tenha um subespaço F-cíclico de dimensão 3. O assunto aqui é subespaço cíclico e polinômio mínimo, e vamos precisar usar a definição de subespaço cíclico gerado por um vetor e como escolher um operador cuja órbita de um vetor tenha exatamente três vetores independentes.

Passo 2

Um subespaço Wsubset V é dito F-cíclico se existir vin V tal que
W=spanv,,F(v),,F^2(v),dots
e dim W=3 se e só se v,,F(v),,F^2(v) forem linearmente independentes, mas F^3(v) for combinação linear deles. Isso está ligado ao fato de o polinômio mínimo de F|W ter grau 3.

Passo 3

Vamos escolher V= R^4 com base padrão e1,e2,e3,e4 e definir F de modo que a órbita de e1 tenha exatamente três vetores independentes e matar tudo depois. Por exemplo:
F(e1)=e2, F(e2)=e3, F(e3)=0, F(e4)=0
Essa definição estende-se linearmente a todo V, definindo um operador.

Passo 4

Agora verificamos que o subespaço
W=spane1,,e2,,e3
é F-cíclico de dimensão 3. De fato,
e1, F(e1)=e2, F^2(e1)=e3
são três vetores independentes, e
F^3(e1)=F(e3)=0
é combinação trivial. Logo W é gerado ciclicamente por e1 e dim W=3.

Passo 5

Assim construímos um operador em R^4 que satisfaz o pedido: V tem dimensão 4 e contém um subespaço F-cíclico de dimensão 3.

Resposta

Por exemplo, em V= R^4 na base e1,e2,e3,e4, tome
F(e1)=e2, F(e2)=e3, F(e3)=0, F(e4)=0
Então o subespaço W=spane1,e2,e3 é F-cíclico de dimensão 3.

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