Esboce as hipérboles abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a hipérbole dada por
e calcular a distância focal, os comprimentos dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas. O conteúdo principal aqui é a transformação para a forma canônica de uma hipérbole, identificação dos parâmetros
,
e
, e uso das fórmulas padrão para excentricidade e assíntotas.
Passo 2
Para colocar a hipérbole na forma canônica, dividimos toda a equação por 2:
Reescrevendo o termo em
:
Da forma canônica
, identificamos:
e
. Logo:
e
.
Passo 3
Para achar o valor de
, que dá a posição dos focos, usamos
:
Portanto
. Os focos ficam em
e a distância entre eles (distância focal) é
.
Passo 4
O comprimento do eixo transversal é
e do eixo conjugado é
.
Passo 5
A excentricidade é dada por
.
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são
. Aqui
, logo:
Passo 7
Para esboçar, desenhe o sistema de eixos, marque os vértices em
, trace as retas
e esboce as curvas da hipérbole abrindo à esquerda e à direita passando pelos vértices.
Resposta
Focos em (±√(5/2),0) com distância focal 2c=√10; eixo transversal 2a=2√2; eixo conjugado 2b=√2; excentricidade e=√5/2; assíntotas y=±(1/2)x.