Esboce as hipérboles abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas:
x^2-4 y^2=2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a hipérbole dada por x^2-4y^2=2 e calcular a distância focal, os comprimentos dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas. O conteúdo principal aqui é a transformação para a forma canônica de uma hipérbole, identificação dos parâmetros a, b e c, e uso das fórmulas padrão para excentricidade e assíntotas.

Passo 2

Para colocar a hipérbole na forma canônica, dividimos toda a equação por 2:
x^22 ;- 4y^22 =1
Reescrevendo o termo em y^2:
x^22 - y^2tfrac12 = 1
Da forma canônica x^2a^2 - y^2b^2 = 1, identificamos: a^2=2 e b^2=tfrac12. Logo: a=raiz2 e b=1/raiz2.

Passo 3

Para achar o valor de c, que dá a posição dos focos, usamos c^2=a^2+b^2:
c^2=2 + tfrac12 = tfrac52
Portanto c=raiz5/2. Os focos ficam em (pmraiz5/2,0) e a distância entre eles (distância focal) é 2c=2raiz5/2=raiz10.

Passo 4

O comprimento do eixo transversal é 2a=2raiz2 e do eixo conjugado é 2b=2cdottfrac1raiz2=raiz2.

Passo 5

A excentricidade é dada por e=tfracca=tfracraiz5/2raiz2=tfracraiz52.

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole na forma x^2a^2-y^2b^2=1 são y=pmtfracbax. Aqui tfracba=tfrac1/raiz2raiz2=tfrac12, logo:
y=pmtfrac12x

Passo 7

Para esboçar, desenhe o sistema de eixos, marque os vértices em (pmraiz2,0), trace as retas y=pm x/2 e esboce as curvas da hipérbole abrindo à esquerda e à direita passando pelos vértices.

Resposta

Focos em (±√(5/2),0) com distância focal 2c=√10; eixo transversal 2a=2√2; eixo conjugado 2b=√2; excentricidade e=√5/2; assíntotas y=±(1/2)x.

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