Ache todas as retas que passam pelo ponto (1,2,3) e que formam ângulos de 45^circ e 60^circ com os eixos x e y, respectivamente. Determine a distância destas retas à origem.

Passo 1

O enunciado pede as retas em R^3 que passam por P0=(1,2,3) e fazem ângulo de 45^circ com o eixo x e de 60^circ com o eixo y. O conteúdo usado será o de cosenos diretores de uma reta em R^3 e a distância de uma reta a um ponto (aqui, a origem). Vamos usar:
  1. Se uma reta tem ângulos alpha,beta,gamma com os eixos x,y,z, seus cosenos diretores são
l=cosalpha, m=cosbeta, n=cosgamma,
com l^2+m^2+n^2=1.
2. A distância da reta que passa por P0 com direção v até a origem é
d=|P0times v||v|

Passo 2

Como o ângulo com o eixo x é 45^circ e com o eixo y é 60^circ, temos
l=cos45^circ=raiz22, m=cos60^circ=12
Como l^2+m^2+n^2=1, vem
n=pmraiz1-l(raiz22r)^2-l(12r)^2 =pmraiz1-12-14 =pm12

Passo 3

Logo as duas direções possíveis são
v+=l(raiz22,;12,;12r), v-=l(raiz22,;12,;-12r)
Para simplificar, multiplicamos cada vetor por 2, obtendo
V+=(raiz2,1,1), V-=(raiz2,1,-1)
As retas desejadas são então, em forma simétrica:
Lpm: x-1raiz2 =y-21 =z-3pm1

Passo 4

Agora calculamos a distância de cada reta à origem usando
dpm =l|P0times Vpmr||Vpm|, P0=(1,2,3)
Primeiro,
|Vpm| =raiz(raiz2)^2+1^2+(pm1)^2 =raiz2+1+1 =2

Passo 5

Calculamos P0times V+ e sua norma:
P0times V+ =det i&j&k 1&2&3 raiz2&1&1 =(2cdot1-3cdot1),i -(1cdot1-3raiz2),j +(1cdot1-2raiz2),k =( -1,;3raiz2-1,;1-2raiz2)
|P0times V+|^2 =(-1)^2+(3raiz2-1)^2+(1-2raiz2)^2 =1+(18-6raiz2+1)+(1-4raiz2+8) =29-10raiz2,
|P0times V+|=raiz29-10raiz2
Portanto
d+ =raiz29-10raiz22
De modo análogo, para V-:
P0times V- =det i&j&k 1&2&3 raiz2&1&-1 =(2cdot(-1)-3cdot1),i -(1cdot(-1)-3raiz2),j +(1cdot1-2raiz2),k =( -5,;-1-3raiz2,;1-2raiz2),
|P0times V-|^2 =25+(1+6raiz2+18)+(1-4raiz2+8) =53+2raiz2,
|P0times V-|=raiz53+2raiz2,
d- =raiz53+2raiz22

Resposta

As duas retas são
Lpm: x-1raiz2=y-21=z-3pm1,
e suas distâncias à origem são
d+=raiz29-10raiz22, d-=raiz53+2raiz22

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