Encontre a equação do plano que:
passa por (2,4,-1) e contém a interseção de x-y-4 z=2 e -2 x+y+2 z=3;

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pelo ponto (2,4,-1) e contém a reta de interseção dos planos
P1:;x - y - 4z = 2
e
P2:;-2x + y + 2z = 3
Conteúdo: equação geral de plano e construção de plano que contém uma reta de interseção de dois planos. Vamos usar o fato de que todo plano que contém a interseção de P1 e P2 pode ser escrito como combinação linear dessas duas equações.

Passo 2

Escrevemos a família de planos que contém a reta de interseção de P1 e P2 na forma
P1 + k,P2 = 0,
ou seja,
(x - y - 4z - 2) ;+; k,(-2x + y + 2z - 3) ;=;0
Expandindo,
(1-2k)x ;+;(-1+k)y ;+;(-4+2k)z ;+;(-2-3k) ;=;0

Passo 3

Impondo que o plano passe por (2,4,-1), substituímos x=2, y=4, z=-1 na equação acima:
(1-2k)cdot2 +(-1+k)cdot4 +(-4+2k)cdot(-1) +(-2-3k) = 0
Calculando termo a termo:
2 - 4k -4 +4k +4 -2k -2 -3k = 0
(2-4+4-2) +(-4k+4k-2k-3k) = 0
0 -5k = 0 Longrightarrow k = 0

Passo 4

Para k=0 recuperamos exatamente o plano P1. Logo, a equação do plano procurado é
x - y - 4z = 2

Resposta

x - y - 4z = 2

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