Determine a equação do plano pi que passa por A=(10 / 3,1,1), B=(1,9 / 2,1) e C=(1,1,5 / 6).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos
A=l(tfrac103,1,1r), B=l(1,tfrac92,1r), C=l(1,1,tfrac56r)
Na geometria analítica, a equação de um plano pode ser escrita como
ncdotl(r-r0r)=0,
onde n é um vetor normal ao plano e r0 é um ponto no plano. Para obter n usamos o produto vetorial de dois vetores diretores do plano, por exemplo AB e AC.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC subtraindo as coordenadas de A de B e de C:
AB = B - A =l(1-tfrac103,;tfrac92-1,;1-1r) =l(-tfrac73,;tfrac72,;0r),
AC = C - A =l(1-tfrac103,;1-1,;tfrac56-1r) =l(-tfrac73,;0,;-tfrac16r)

Passo 3

O vetor normal n é dado por
n=ABtimesAC
Fazendo o determinante, obtemos
n = i & j & k[6pt] -tfrac73 & tfrac72 & 0[3pt] -tfrac73 & 0 & -tfrac16 =l(-tfrac712,;-tfrac718,;tfrac496r) ]

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos n por 36 (o mínimo múltiplo comum dos denominadores) e depois dividimos por 7:
36,n=l(-21,-14,294r),
36,n7=l(-3,-2,42r)
Podemos ainda trocar o sinal para ter coordenadas positivas nos dois primeiros componentes, ficando
n=(3,2,-42)

Passo 5

Usamos a forma ponto-normal do plano com r0=A e n=(3,2,-42):
3,(x-tfrac103)+2,(y-1)-42,(z-1)=0
Distribuindo e simplificando:
3x-10+2y-2-42z+42=0 Longrightarrow 3x+2y-42z+30=0

Resposta

A equação do plano pi é
3x + 2y - 42z + 30 = 0

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