Ache todas as soluções das seguintes equações diferenciais.
inteiro positivo;
Passo 1
O enunciado pede encontrar todas as soluções gerais da equação diferencial
, com
. Vamos usar o método de equações lineares homogêneas de ordem
com coeficientes constantes: montamos o polinômio característico e, a partir de suas raízes, construímos a solução geral.
Passo 2
O polinômio característico se obtém trocando cada derivada por
elevado àquela ordem. Assim, para
temos a raiz
de multiplicidade .
de multiplicidade
Passo 3
Quando a raiz
aparece com multiplicidade
, a solução geral é dada pela combinação linear dos
modos independentes
. Como
, obtemos
onde
são constantes arbitrárias.