Ache todas as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{(k)}=0, k inteiro positivo;

Passo 1

O enunciado pede encontrar todas as soluções gerais da equação diferencial \,y^{(k)}=0, com k\in\mathbb{N}^+. Vamos usar o método de equações lineares homogêneas de ordem k com coeficientes constantes: montamos o polinômio característico e, a partir de suas raízes, construímos a solução geral.

Passo 2

O polinômio característico se obtém trocando cada derivada por r elevado àquela ordem. Assim, para
r^k = 0
temos a raiz \,r=0
de multiplicidade k.

Passo 3

Quando a raiz r=0 aparece com multiplicidade k, a solução geral é dada pela combinação linear dos k modos independentes \,e^{0x},\,x\,e^{0x},\,x^2e^{0x},\dots,x^{k-1}e^{0x}. Como e^{0x}=1, obtemos
y(x)=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots+C_{k-1}x^{k-1},
onde C_{0},C_{1},\dots,C_{k-1} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=\sum_{i=0}^{k-1}C_{i}\,x^{i}.

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