Ache todas as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}=2+x;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' = 2 + x
onde a derivada segunda de y aparece isolada como função de x. Para resolver, basta integrar duas vezes em relação a x, introduzindo constantes de integração a cada passo.

Passo 2

Integramos uma vez para obter y'.
y' = \int y''\,dx = \int (2 + x)\,dx = 2x + \frac{x^2}{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária.

Passo 3

Integramos novamente para obter y.
y = \int y'\,dx = \int\Bigl(2x + \tfrac{x^2}{2} + C_{1}\Bigr)\,dx = x^2 + \frac{x^3}{6} + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante arbitrária.

Resposta

y(x) = x^2 + \frac{x^3}{6} + C_{1}x + C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes de integração.

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