Ache todas as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=e^{2 x}+\sin (x);

Passo 1

Olha, a equação que temos é
y' = e^{2x} + \sin(x),
ou seja, é uma EDO de primeira ordem no formato y' = f(x). A teoria diz que, quando y' = f(x), a solução geral é
y(x) = \int f(x)\,\mathrm{d}x + C.

Passo 2

Vamos integrar o primeiro termo e^{2x}. Sabendo que
\int e^{ax}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\,e^{ax},
com a=2 a gente obtém
\int e^{2x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,e^{2x}.

Passo 3

Agora integraremos \sin(x). A primitiva de \sin(x) é
\int \sin(x)\,\mathrm{d}x = -\cos(x).

Passo 4

Somando as duas antiderivadas e incluindo a constante de integração C, a solução geral fica
y(x) = \frac{1}{2}\,e^{2x} \;-\;\cos(x) \;+\; C.

Resposta

y(x) = \frac{1}{2}\,e^{2x} - \cos(x) + C.

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