Verifique que cada função dada é solução da EDO correspondente.
\varphi(x)=e^{-\sin x}, para y^{\prime}+(\cos x) y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função \varphi(x)=e^{-\sin x}
satisfaz a equação diferencial
y' + (\cos x)\,y = 0.
O método é diferenciar \varphi e em seguida substituir em y' + (\cos x)y, mostrando que o resultado é zero.

Passo 2

Calcular a derivada de \varphi(x):
\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-\sin x}\bigr) = e^{-\sin x}\cdot\frac{d}{dx}(-\sin x) = e^{-\sin x}\cdot(-\cos x).

Passo 3

Substituir \varphi e \varphi' na expressão y' + (\cos x)y:
\varphi'(x) + (\cos x)\,\varphi(x) = e^{-\sin x}(-\cos x) + (\cos x)\,e^{-\sin x} = e^{-\sin x}\bigl(-\cos x + \cos x\bigr) = 0.
Como a soma dá zero, \varphi satisfaz exatamente a equação y' + (\cos x)y=0.

Resposta

A função \varphi(x)=e^{-\sin x} é solução da EDO y' + (\cos x)\,y = 0.

Exercícios relacionados