Ache todos os inteiros n para os quais n-3 mid n^3-3.

Passo 1

O enunciado pede aos valores inteiros n tais que n-3 divide n^3-3. O conteúdo envolvido é divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio f(x) por (x-a) é f(a).

Passo 2

Para f(n)=n^3-3 e o divisor n-3, o Teorema do Resto nos dá
f(3)=3^3-3=27-3=24
Ou seja,
n^3-3=(n-3),Q(n)+24
para algum polinômio Q(n).

Passo 3

Da equação acima, n-3 divide n^3-3 exatamente quando n-3 divide 24. Logo precisamos achar todos os divisores inteiros de 24.

Passo 4

Os divisores de 24 são pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm8,pm12,pm24. Para cada divisor d de 24 temos
n-3=d Longrightarrow n=3+d
Isso gera a coleção de valores
nin-21,-9,-5,-3,-1,0,1,2,4,5,6,7,9,11,15,27

Resposta

-21,-9,-5,-3,-1,0,1,2,4,5,6,7,9,11,15,27

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