Determine:
A equação do plano que passa pelos pontos (3,-1,1),(4,0,2) e (6,3,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos (3,-1,1), (4,0,2) e (6,3,1).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos precisar de dois vetores diretores obtidos pelas diferenças entre pontos e depois de um produto vetorial para achar o vetor normal ao plano. Com esse normal e um ponto conhecido, montamos a equação ncdot((x,y,z)-P)=0.

Passo 2

Escolhemos P1=(3,-1,1), P2=(4,0,2) e P3=(6,3,1).
Os vetores diretores são
v1 = P2 - P1 = (4-3,;0-(-1),;2-1) = (1,1,1),
v2 = P3 - P1 = (6-3,;3-(-1),;1-1) = (3,4,0)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial v1 times v2:
n = i & j & k 1 & 1 & 1 3 & 4 & 0 = (-4,,3,,1)

Passo 4

A equação do plano usando P1 e n é
ncdotl((x,y,z)-P1r)=0 Longrightarrow (-4,3,1)cdot(x-3,;y+1,;z-1)=0
Expandindo, fica
-4(x-3)+3(y+1)+1(z-1)=0 Longrightarrow -4x+12+3y+3+z-1=0
Longrightarrow -4x+3y+z+14=0
e, multiplicando por -1, obtemos
4x - 3y - z - 14 = 0

Resposta

A equação do plano é
4x - 3y - z - 14 = 0

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