Calcul 2 as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Seja
. Mostre que
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
e determinar o domínio de
e das derivadas parciais. Além disso, devemos mostrar que
Passo 2
Para achar o domínio de
, notamos que a função integrante é
e que a raiz de índice ímpar admite qualquer número real. Logo o domínio de
é
Passo 3
Para
tal que
,
é composição de funções diferenciáveis. Usamos a regra da cadeia: se
então
Passo 4
Como nos fórmulas acima aparece o fator
, as expressões só fazem sentido quando
Portanto, o domínio natural de
e
a partir dessas fórmulas é
Passo 5
No ponto
usamos a definição de derivada parcial. Para a variável
:
Analogamente em
:
Resposta
Domínio de
:
.
Domínio de e
a partir das fórmulas:
,
com extensão pontual em definida por
Domínio de
com extensão pontual em
Para
com
vale
e no ponto
temos
.