Calcul 2 as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Seja f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3. Mostre que fx(0,0)=fy(0,0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=raiz[3]x^3+y^3
e determinar o domínio de f e das derivadas parciais. Além disso, devemos mostrar que
fx(0,0)=fy(0,0)=1

Passo 2

Para achar o domínio de f, notamos que a função integrante é u=x^3+y^3 e que a raiz de índice ímpar admite qualquer número real. Logo o domínio de f é
(x,y)inR^2

Passo 3

Para (x,y) tal que x^3+y^3neq0, f é composição de funções diferenciáveis. Usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=(u(x,y))^1/3 então
fx(x,y)=tfrac13l(x^3+y^3r)^-2/3cdot 3x^2 =x^2l(x^3+y^3r)^2/3,
fy(x,y)=tfrac13l(x^3+y^3r)^-2/3cdot 3y^2 =y^2l(x^3+y^3r)^2/3

Passo 4

Como nos fórmulas acima aparece o fator l(x^3+y^3r)^-2/3, as expressões só fazem sentido quando
x^3+y^3neq0
Portanto, o domínio natural de fx e fy a partir dessas fórmulas é
(x,y)inR^2mid x^3+y^3neq0

Passo 5

No ponto (0,0) usamos a definição de derivada parcial. Para a variável x:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raiz[3]h^3+0-0h =limhto0hh =1
Analogamente em y:
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0raiz[3]0+k^3-0k =limkto0kk =1

Resposta

Domínio de f: R^2.
Domínio de fx e fy a partir das fórmulas: (x,y)mid x^3+y^3neq0,
com extensão pontual em (0,0) definida por
fx(0,0)=1, fy(0,0)=1
Para (x,y) com x^3+y^3neq0 vale
fx(x,y)=x^2l(x^3+y^3r)^2/3, fy(x,y)=y^2l(x^3+y^3r)^2/3,
e no ponto (0,0) temos fx(0,0)=fy(0,0)=1.

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