Sejam a, b, c, d inteiros, com a d-b c>1. Mostre que pelo menos um dos inteiros a, b, c, d não é divisível por a d-b c.

Passo 1

O problema dá inteiros a,b,c,d tais que ad-bc>1 e pede para mostrar que pelo menos um entre a,b,c,d não é divisível por m=ad-bc. O conteúdo é teoria de divisibilidade e usaremos prova por contradição.

Passo 2

Suponha, por contradição, que m=ad-bc divide todos os quatro inteiros a,b,c,d. Então existem inteiros A,B,C,D tais que
a=mA, b=mB, c=mC, d=mD

Passo 3

Substituindo essas expressões em ad-bc obtemos
ad-bc=(mA)(mD)-(mB)(mC)=m^2(AD-BC)
Mas por definição ad-bc=m. Logo
m=m^2(AD-BC)

Passo 4

Dividindo ambos os lados por m, vem
1=m(AD-BC)

Passo 5

Como m>1 e AD-BC é inteiro, a igualdade anterior é impossível. Assim chegamos a uma contradição.
Portanto, a hipótese de que m divide todos os quatro inteiros é falsa, o que significa que pelo menos um dos inteiros a,b,c,d não é divisível por m=ad-bc.

Resposta

Pelo menos um dos inteiros a,b,c,d não é divisível por ad-bc.

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