Sejam
inteiros, com
. Mostre que pelo menos um dos inteiros
não é divisível por
.
Passo 1
O problema dá inteiros
tais que
e pede para mostrar que pelo menos um entre
não é divisível por
. O conteúdo é teoria de divisibilidade e usaremos prova por contradição.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
divide todos os quatro inteiros
. Então existem inteiros
tais que
Passo 3
Substituindo essas expressões em
obtemos
Mas por definição
. Logo
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
, vem
Passo 5
Como
e
é inteiro, a igualdade anterior é impossível. Assim chegamos a uma contradição.
Portanto, a hipótese de que divide todos os quatro inteiros é falsa, o que significa que pelo menos um dos inteiros
não é divisível por
.
Portanto, a hipótese de que
Resposta
Pelo menos um dos inteiros
não é divisível por
.