Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências:
243 x+17 \equiv 101(\bmod 725)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros x que satisfazem a congruência
243\,x + 17 \equiv 101 \pmod{725}.
O conteúdo principal é resolver uma congruência linear, e vamos precisar de aritmética modular e de encontrar inverso de 243 módulo 725.

Passo 2

Isolamos x subtraindo 17 de ambos os lados da congruência:
243\,x \equiv 101 - 17 \pmod{725} \quad\Longrightarrow\quad 243\,x \equiv 84 \pmod{725}.

Passo 3

Verificamos que \gcd(243,725)=1, logo a congruência tem solução única módulo 725. De fato, pelo Algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 725 &= 243\cdot 2 + 239,\\\\ 243 &= 239\cdot 1 + 4,\\\\ 239 &= 4\cdot 59 + 3,\\\\ 4 &= 3\cdot 1 + 1,\\\\ 3 &= 1\cdot 3 + 0. \end{aligned}

Passo 4

Para achar o inverso de 243 módulo 725, voltamos no Algoritmo de Euclides (back-substitution):
\begin{aligned} 1 &= 4 - 3\cdot 1,\\\\ 3 &= 239 - 4\cdot 59,\\\\ 4 &= 243 - 239\cdot 1,\\\\ 239 &= 725 - 243\cdot 2. \end{aligned}
Substituindo em cadeia obtemos
1 = 243\cdot 182 - 725\cdot 61,
logo 243^{-1}\equiv 182 \pmod{725}.

Passo 5

Multiplicamos a congruência 243\,x\equiv84 pelo inverso 182:
x \equiv 182\cdot 84 \pmod{725}.
Calculando 182\cdot84 = 15288 e reduzindo módulo 725 (pois 15288 - 21\cdot725 = 15288 -15225=63), temos
x \equiv 63 \pmod{725}.

Passo 6

Portanto, todos os inteiros que resolvem a congruência são da forma
x = 63 + 725\,k,
com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = 63 + 725k, para todo k\in\mathbb{Z}.

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