Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências:
6 x+3 \equiv 1(\bmod 10)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
6x + 3 \equiv 1 \pmod{10}
Este é um problema de teoria de congruências: vamos isolar x, calcular o \gcd, verificar existência de solução e encontrar a solução geral.

Passo 2

Subtraímos 3 de ambos os lados para simplificar:
6x + 3 - 3 \equiv 1 - 3 \pmod{10} \quad\Longrightarrow\quad 6x \equiv -2 \pmod{10}.
Como -2\equiv 8\pmod{10}, fica
6x \equiv 8 \pmod{10}.

Passo 3

Calculamos o \gcd(6,10).
\gcd(6,10)=2.
Como 2 divide 8, a congruência tem solução. O número de soluções módulo 10 é igual a \gcd(6,10)=2. Para simplificar, dividimos tudo por 2:
\frac{6x}{2}\equiv \frac{8}{2}\pmod{\tfrac{10}{2}} \quad\Longrightarrow\quad 3x \equiv 4 \pmod{5}.

Passo 4

Agora resolvemos
3x \equiv 4 \pmod{5}.
O inverso de 3 módulo 5 é 2 (pois 3\cdot2=6\equiv1\pmod5). Multiplicando ambos os lados por 2:
x \equiv 2\cdot4 = 8 \equiv 3 \pmod{5}.

Passo 5

Concluímos que a solução geral é
x = 3 + 5k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em particular, módulo 10 há duas classes de solução:
x\equiv 3\pmod{10} \quad\text{ou}\quad x\equiv 8\pmod{10}.

Resposta

Todos os inteiros da forma
x = 3 + 5k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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