Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências:
7 x \equiv 4(\bmod 10)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear de primeiro grau
7x \equiv 4 \pmod{10}.
O conteúdo usado será a teoria de congruências: em particular, calculamos o \gcd entre o coeficiente 7 e o módulo 10, depois obtemos o inverso de 7 módulo 10 e, por fim, multiplicamos ambos os lados da congruência por esse inverso para encontrar x.

Passo 2

Calculamos \gcd(7,10). Como
10 = 7\cdot1 + 3,\quad 7 = 3\cdot2 + 1,\quad 3 = 1\cdot3 + 0,
segue que \gcd(7,10)=1. Como o divisor comum é 1, a congruência tem solução única módulo 10.

Passo 3

Para achar o inverso de 7 módulo 10, voltamos os passos do algoritmo de Euclides:
1 = 7 - 3\cdot2 \quad\text{e}\quad 3 = 10 - 7\cdot1,
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1 = 7 - (10 - 7)\cdot2 = 7\cdot3 - 10\cdot2.
Isto mostra que 3 é o inverso de 7 módulo 10, pois
7\cdot3 \equiv 1 \pmod{10}.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por 3:
3\cdot(7x) \equiv 3\cdot4 \pmod{10} \quad\Longrightarrow\quad x \equiv 12 \pmod{10}.
Como 12 \equiv 2 \pmod{10}, obtemos
x \equiv 2 \pmod{10}.

Passo 5

A solução geral em \mathbb{Z} é
x = 2 + 10k,
com k \in \mathbb{Z}.

Resposta

Todos os inteiros que satisfazem 7x \equiv 4 \pmod{10} são
x = 2 + 10k,\quad k \in \mathbb{Z}.

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