Seja \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{x \in \mathbb{R}: x=a+b \sqrt{2}, a, b \in \mathbb{Q}\}. Defina +\mathrm{e} \cdot de modo análogo ao Exercício 2 e prove que: \forall a, b, c, d \in \mathbb{Q},
a) a+b \sqrt{2}=c+d \sqrt{2} \Leftrightarrow a=c e b=d.
b) \mathbb{Q}[\sqrt{2}],+, \cdot satisfaz as propriedades (i), (ii), …, (ix) e (x) e portanto é um corpo.
c) Generalize o exercício para \mathbb{Q}[\sqrt{p}], p primo $\geq 2.

Passo 1

O enunciado define
\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{\,a + b\sqrt{2}: a,b\in\mathbb{Q}\}
com as operações de soma e produto dadas por
(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2},
(a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}.
Queremos provar:
a) unicidade da escrita a+b\sqrt{2};
b) que essas operações tornam \mathbb{Q}[\sqrt{2}] num corpo, i.e. satisfazem as propriedades de corpo;
c) generalizar para \mathbb{Q}[\sqrt{p}], p primo.

Passo 2

Provar unicidade: suponha
a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}.
Então
(a-c) + (b-d)\sqrt{2} = 0.
Se b\neq d, então \sqrt{2} = \frac{c-a}{b-d}\in\mathbb{Q}, contradizendo a irracionalidade de \sqrt{2}. Logo deve ocorrer b-d=0, disto segue a-c=0. Concluímos
a+c\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}\;\Longleftrightarrow\;a=c\;\text{ e }\;b=d.

Passo 3

Verificar as propriedades aditivas ((i)–(v)):
  1. Fechamento: se x=a+b\sqrt{2} e y=c+d\sqrt{2} então x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}].
  2. Associatividade e comutatividade da soma herdam-se da associatividade e comutatividade em \mathbb{Q}.
  3. Elemento neutro aditivo é 0=0+0\sqrt{2}.
  4. Inverso aditivo de a+b\sqrt{2} é -a - b\sqrt{2}, que pertence a \mathbb{Q}[\sqrt{2}].

Passo 4

Verificar as propriedades multiplicativas ((vi)–(ix)):
  1. Fechamento: produto de a+b\sqrt{2} e c+d\sqrt{2} é
    (ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}].
  2. Associatividade e comutatividade do produto vêm de \mathbb{Q}.
  3. Neutro multiplicativo é 1=1+0\sqrt{2}.
  4. Dado x=a+b\sqrt{2}\neq0, isto é, não ambos a,b nulos, seu inverso é x^{-1} = \frac{1}{a+b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} = \frac{a}{a^2-2b^2} \;+\; \frac{-b}{a^2-2b^2}\,\sqrt{2},e como a^2-2b^2\neq0 (caso contrário a+b\sqrt{2}=0), esse inverso está em \mathbb{Q}[\sqrt{2}].

Passo 5

Verificar distribuitividade ((x)): para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}] a expansão de
x\cdot(y+z) \quad\text{e}\quad x\cdot y + x\cdot z
coincide, pois se escreve tudo em termos de operações em \mathbb{Q} que já satisfazem a distribuitividade.

Passo 6

Generalização para \mathbb{Q}[\sqrt{p}], p primo. Define-se
\mathbb{Q}[\sqrt{p}] = \{\,a + b\sqrt{p}: a,b\in\mathbb{Q}\}
com as mesmas fórmulas de soma e produto trocando 2 por p. A argumentação é idêntica:
– unicidade usa irracionalidade de \sqrt{p};
– fechamento, associatividade, comutatividade e neutros vêm de \mathbb{Q};
– inverso multiplicativo de a+b\sqrt{p}\neq0 é
\tfrac{a - b\sqrt{p}}{a^2 - p\,b^2}\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}];
– distribuitividade transfere-se de \mathbb{Q}.

Resposta

a) Demonstrado que a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2} implica a=c e b=d.
b) \mathbb{Q}[\sqrt{2}] satisfaz todas as propriedades de corpo e portanto é um corpo.
c) O mesmo raciocínio vale para \mathbb{Q}[\sqrt{p}] com p primo.

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