Seja
. Defina
de modo análogo ao Exercício 2 e prove que:
,
a)
e
.
b)
satisfaz as propriedades (i), (ii), …, (ix) e (x) e portanto é um corpo.
c) Generalize o exercício para
primo $\geq 2.
a)
b)
c) Generalize o exercício para
Passo 1
O enunciado define
com as operações de soma e produto dadas por
Queremos provar:
a) unicidade da escrita ;
b) que essas operações tornam num corpo, i.e. satisfazem as propriedades de corpo;
c) generalizar para ,
primo.
a) unicidade da escrita
b) que essas operações tornam
c) generalizar para
Passo 2
Provar unicidade: suponha
Então
Se
, então
, contradizendo a irracionalidade de
. Logo deve ocorrer
, disto segue
. Concluímos
Passo 3
Verificar as propriedades aditivas ((i)–(v)):
- Fechamento: se
e então . - Associatividade e comutatividade da soma herdam-se da associatividade e comutatividade em
. - Elemento neutro aditivo é
. - Inverso aditivo de
é , que pertence a .
Passo 4
Verificar as propriedades multiplicativas ((vi)–(ix)):
- Fechamento: produto de
e é
. - Associatividade e comutatividade do produto vêm de
. - Neutro multiplicativo é
. - Dado
, isto é, não ambos nulos, seu inverso é e como (caso contrário ), esse inverso está em .
Passo 5
Verificar distribuitividade ((x)): para quaisquer
a expansão de
coincide, pois se escreve tudo em termos de operações em
que já satisfazem a distribuitividade.
Passo 6
Generalização para
,
primo. Define-se
com as mesmas fórmulas de soma e produto trocando
por
. A argumentação é idêntica:
– unicidade usa irracionalidade de ;
– fechamento, associatividade, comutatividade e neutros vêm de ;
– inverso multiplicativo de é
;
– distribuitividade transfere-se de .
– unicidade usa irracionalidade de
– fechamento, associatividade, comutatividade e neutros vêm de
– inverso multiplicativo de
– distribuitividade transfere-se de
Resposta
a) Demonstrado que
implica
e
.
b) satisfaz todas as propriedades de corpo e portanto é um corpo.
c) O mesmo raciocínio vale para com
primo.
b)
c) O mesmo raciocínio vale para