Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências:
4 x+3 \equiv 4(\bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros x que satisfazem a congruência
4x + 3 \equiv 4 \pmod{5}.
O conteúdo é aritmética modular e precisaremos usar propriedades de congruência, em particular a existência de inverso multiplicativo quando o coeficiente é primo relativo ao módulo.

Passo 2

Subtraímos 3 de ambos os lados para isolar o termo com x:
4x + 3 \equiv 4 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad 4x \equiv 4 - 3 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad 4x \equiv 1 \pmod{5}.

Passo 3

Como \gcd(4,5)=1, o coeficiente 4 tem inverso multiplicativo módulo 5. Buscamos y tal que 4y\equiv1\pmod{5}. Testando,
4\cdot 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5},
logo o inverso de 4 é 4. Multiplicamos a congruência 4x\equiv1\pmod{5} por 4:
4\cdot4x \equiv 4\cdot1 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad 16x \equiv 4 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad x \equiv 4 \pmod{5}.

Passo 4

A solução geral de x\equiv4\pmod{5} é
x = 5k + 4,
onde k é qualquer inteiro.

Resposta

Todos os inteiros da forma
x = 5k + 4,\quad k\in\mathbb{Z}.

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