Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes congruências:
3 x \equiv 2(\bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
3x \equiv 2 \pmod{5},
ou seja, encontrar todos os inteiros x tais que 3x-2 seja múltiplo de 5. O conteúdo aqui é resolução de congruência linear usando inverso multiplicativo.

Passo 2

Verificamos que \gcd(3,5)=1, logo 3 é invertível módulo 5. Assim podemos multiplicar os dois lados da congruência pelo inverso de 3 em \mathbb{Z}_5.

Passo 3

Buscamos y tal que
3y \equiv 1 \pmod{5}.
Testando valores, vemos que 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}. Portanto o inverso de 3 módulo 5 é 2.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por 2:
2\cdot(3x)\equiv 2\cdot2\pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad 6x\equiv 4\pmod{5}.
Como 6\equiv1\pmod{5}, isso simplifica para
x\equiv 4\pmod{5}.

Passo 5

A solução geral da congruência x\equiv 4\pmod{5} é dada por
x = 5k + 4,
onde k é qualquer inteiro.

Resposta

A solução são todos os inteiros da forma
x = 5k + 4,\quad k\in\mathbb{Z}.

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