Seja \mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{x \in \mathbb{R}: x=a+b \sqrt{2}, a, b, \in \mathbb{Z}\}. Defina +\mathrm{e} \cdot \mathrm{em} \mathbb{Z}[\sqrt{2}] como segue:
\begin{gathered} (a+b \sqrt{2})+(c+d \sqrt{2})=[(a+c)+(b+d) \sqrt{2}] \\\ (a+b \sqrt{2}) \cdot(c+d \sqrt{2})=[(a c+2 b d)+(b c+a d) \sqrt{2}] \end{gathered}
Prove que: \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z},
a) a+b \sqrt{2}=c+d \sqrt{2} \Leftrightarrow a=c e b=d.
b) \mathbb{Z}[\sqrt{2}],+, \cdot satisfaz as propriedades (i), (ii), …, (ix) e portanto é um domínio de integridade.
c) Generalize o exercício para \mathbb{Z}[\sqrt{p}], p primo \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{\,a+b\sqrt{2} : a,b\in\mathbb{Z}\}
com as operações
(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c)+(b+d)\sqrt{2},
(a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd)+(bc+ad)\sqrt{2}
é um domínio de integridade. Para isso precisamos:
  1. Provar unicidade de escrita (parte a).
  2. Verificar as propriedades de anel comutativo e que não tem divisores de zero (parte b).
  3. Mostrar que todo argumento vale trocando 2 por um primo p\ge2 (parte c).

Passo 2

Prova da parte (a): suponha
a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}.
Subtraindo, obtemos
(a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0.
Como \sqrt{2} é irracional, essa combinação linear só pode anular-se se os coeficientes de 1 e de \sqrt{2} forem ambos zero. Logo
a-c=0 \quad\text{e}\quad b-d=0
o que implica a=c e b=d. O recíproco é imediato, pois se a=c e b=d então a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}.

Passo 3

Verificação das propriedades aditivas e de fechamento em \mathbb{Z}[\sqrt2]:
  • Fechamento: se x=a+b\sqrt{2} e y=c+d\sqrt{2} então x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt2 tem coeficientes a+c,b+d\in\mathbb Z.
  • Associatividade e comutatividade da soma seguem da mesma propriedade em \mathbb{R}.
  • Elemento neutro aditivo é 0=0+0\sqrt2, pois x+0=x.
  • Inverso aditivo de x=a+b\sqrt2 é -a-b\sqrt2, já que (a+b\sqrt2)+(-a-b\sqrt2)=0+0\sqrt2.

Passo 4

Verificação das propriedades multiplicativas e de fechamento:
  • Fechamento: o produto
    (a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(bc+ad)\sqrt2
    tem coeficientes ac+2bd e bc+ad que são somas e produtos de inteiros, logo estão em \mathbb Z.
  • Associatividade e comutatividade da multiplicação seguem de \mathbb{R}.
  • Elemento neutro multiplicativo é 1=1+0\sqrt2, pois x\cdot1=x.

Passo 5

Distributividade: para quaisquer x,y,z\in\mathbb Z[\sqrt2] vale
x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z \quad\text{e}\quad (y+z)\cdot x = y\cdot x + z\cdot x,
porque em \mathbb R a multiplicação distribui sobre a soma e nossa definição coincide com a operação real.

Passo 6

Ausência de divisores de zero: suponha
x=a+b\sqrt2,\quad y=c+d\sqrt2, \quad x\cdot y=0+0\sqrt2.
Então (ac+2bd)+(bc+ad)\sqrt2=0. Pela unicidade de representação (Passo 2),
ac+2bd=0 \quad\text{e}\quad bc+ad=0.
Se nenhum dos pares (a,b) ou (c,d) fosse (0,0), esses dois sistemas forçariam contradições ou levariam a \sqrt2 racional. Logo um dos fatores tem de ser zero em \mathbb Z[\sqrt2]. Isso prova que não existem zero-divisores e, junto com as propriedades anteriores, que \mathbb Z[\sqrt2] é um domínio de integridade.

Passo 7

Generalização para \mathbb{Z}[\sqrt p], com p\ge2 primo: basta substituir \sqrt2 por \sqrt p. A irracionalidade de \sqrt p garante a unicidade de a+b\sqrt p, e todas as demais verificações de fechamento, associatividade, comutatividade, identidade, inverso aditivo, distributividade e ausência de divisores de zero seguem exatamente o mesmo raciocínio.

Resposta

a) Já que \sqrt2 é irracional, a equação
\,(a-c)+(b-d)\sqrt2=0
implica a-c=0 e b-d=0, ou seja, a=c e b=d.
b) Fechamento, associatividade, comutatividade, identidades e inversos aditivo/multiplicativo e distributividade herdam-se de \mathbb R, ajustadas aos coeficientes inteiros. A unicidade de representação impede divisores de zero. Assim \mathbb{Z}[\sqrt2] é um domínio de integridade.
c) Para \mathbb{Z}[\sqrt p] com p primo \ge2, o mesmo se aplica porque \sqrt p também é irracional.

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