Seja
. Defina
como segue:
Prove que:
,
a)
e
.
b)
,
satisfaz as propriedades (i), (ii), …, (ix) e portanto é um domínio de integridade.
c) Generalize o exercício para
,
primo
.
a)
b)
c) Generalize o exercício para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações
é um domínio de integridade. Para isso precisamos:
- Provar unicidade de escrita (parte a).
- Verificar as propriedades de anel comutativo e que não tem divisores de zero (parte b).
- Mostrar que todo argumento vale trocando
por um primo (parte c).
Passo 2
Prova da parte (a): suponha
Subtraindo, obtemos
Como
é irracional, essa combinação linear só pode anular-se se os coeficientes de
e de
forem ambos zero. Logo
o que implica
e
. O recíproco é imediato, pois se
e
então
.
Passo 3
Verificação das propriedades aditivas e de fechamento em
:
- Fechamento: se
e então tem coeficientes . - Associatividade e comutatividade da soma seguem da mesma propriedade em
. - Elemento neutro aditivo é
, pois . - Inverso aditivo de
é , já que
Passo 4
Verificação das propriedades multiplicativas e de fechamento:
- Fechamento: o produto
tem coeficientese que são somas e produtos de inteiros, logo estão em . - Associatividade e comutatividade da multiplicação seguem de
. - Elemento neutro multiplicativo é
, pois .
Passo 5
Distributividade: para quaisquer
vale
porque em
a multiplicação distribui sobre a soma e nossa definição coincide com a operação real.
Passo 6
Ausência de divisores de zero: suponha
Então
. Pela unicidade de representação (Passo 2),
Se nenhum dos pares
ou
fosse
, esses dois sistemas forçariam contradições ou levariam a
racional. Logo um dos fatores tem de ser zero em
. Isso prova que não existem zero-divisores e, junto com as propriedades anteriores, que
é um domínio de integridade.
Passo 7
Generalização para
, com
primo: basta substituir
por
. A irracionalidade de
garante a unicidade de
, e todas as demais verificações de fechamento, associatividade, comutatividade, identidade, inverso aditivo, distributividade e ausência de divisores de zero seguem exatamente o mesmo raciocínio.
Resposta
a) Já que
é irracional, a equação
implica e
, ou seja,
e
.
implica
b) Fechamento, associatividade, comutatividade, identidades e inversos aditivo/multiplicativo e distributividade herdam-se de
, ajustadas aos coeficientes inteiros. A unicidade de representação impede divisores de zero. Assim
é um domínio de integridade.
c) Para
com
primo
, o mesmo se aplica porque
também é irracional.