(h) Mostre que a integral de linha do campo
é independente do caminho em
.
Em seguida, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
Em seguida, calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Mostrar que a integral de linha de
é independente do caminho em . - Calcular
para qualquer curva que ligue os pontos e .
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida para todo . - Os pontos inicial e final do caminho são
e .
Passo 2
Ideia e critérios que vamos usar (explicação didática).
- Se um campo vetorial
é gradiente de alguma função escalar (ou seja, ), então a integral de linha de entre dois pontos independe do caminho — ela depende apenas dos valores de nos extremos. - Em
(que é um domínio simplesmente conexo), uma forma prática de verificar se é gradiente é checar se o rotor (curl) de é o vetor nulo:
- Vou lembrar a fórmula do rotor para um campo
:
Aqui
são as componentes de
; por exemplo
.
Passo 3
Cálculo explícito do rotor
.
As componentes do campo são
As componentes do campo são
Agora calculo cada derivada parcial necessária:
-
-
Portanto a primeira componente do rotor é
-
-
Portanto a segunda componente do rotor é
-
-
Portanto a terceira componente do rotor é
Passo 4
Conclusão sobre o rotor e independência do caminho.
- Do cálculo acima obtemos
- Como o campo
está definido em todo , que é um domínio simplesmente conexo, a condição implica que é conservativo: existe uma função escalar tal que . - Logo a integral de linha de
é independente do caminho em . (Isto responde a primeira parte do enunciado.)
Passo 5
Método para encontrar a potencial
(explicação didática) e integração inicial.
- Se
, então
- Primeiro integro
em relação a , tratando e como constantes:
onde
é uma função arbitrária de
e
(a “constante” de integração que pode depender das outras variáveis).
Passo 6
Determinar
usando as outras componentes.
- Calculo
a partir da expressão obtida:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
- Da igualdade
concluímos que não depende de , portanto , uma função apenas de .
Passo 7
Determinar
usando a terceira componente.
- Agora escrevemos
- Calculo
:
Mas
deve ser igual a
. Igualando,
- Assim
é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à adição constante), logo uma escolha conveniente para a potencial é
Passo 8
Cálculo da integral de linha entre os pontos usando a potencial.
- Como a integral é independente do caminho, podemos usar o teorema fundamental para gradientes:
- Calculo
:
pois
.
- Calculo
:
- Portanto
Resposta
O campo é independente do caminho em
.