(h) Mostre que a integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(y e^{z}, x e^{z}, x y e^{z}\right)
é independente do caminho em \mathbb{R}^{3}.
Em seguida, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde C é qualquer curva ligando (0,0,0) a (1,2, \ln 2).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y e^{z},\; x e^{z},\; x y e^{z}\bigr)
e pede duas coisas:
  • Mostrar que a integral de linha de \mathbf{F} é independente do caminho em \mathbb{R}^{3}.
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} para qualquer curva C que ligue os pontos (0,0,0) e (1,2,\ln 2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \mathbf{F} está definida para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
  • Os pontos inicial e final do caminho são (0,0,0) e (1,2,\ln 2).

Passo 2

Ideia e critérios que vamos usar (explicação didática).
  • Se um campo vetorial \mathbf{F} é gradiente de alguma função escalar \varphi (ou seja, \mathbf{F}=\nabla\varphi), então a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos independe do caminho — ela depende apenas dos valores de \varphi nos extremos.
  • Em \mathbb{R}^{3} (que é um domínio simplesmente conexo), uma forma prática de verificar se \mathbf{F} é gradiente é checar se o rotor (curl) de \mathbf{F} é o vetor nulo:
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Vou lembrar a fórmula do rotor para um campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3):
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Aqui F_1,F_2,F_3 são as componentes de \mathbf{F}; por exemplo F_1(x,y,z)=y e^{z}.

Passo 3

Cálculo explícito do rotor \nabla\times\mathbf{F}.
As componentes do campo são
F_1(x,y,z)=y e^{z},\qquad F_2(x,y,z)=x e^{z},\qquad F_3(x,y,z)=x y e^{z}.
Agora calculo cada derivada parcial necessária:
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y e^{z}\bigr)=x e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{z}\bigr)=x e^{z}.
    Portanto a primeira componente do rotor é
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x e^{z}-x e^{z}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y e^{z}\bigr)=y e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y e^{z}\bigr)=y e^{z}.
    Portanto a segunda componente do rotor é
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=y e^{z}-y e^{z}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{z}\bigr)=e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{z}\bigr)=e^{z}.
    Portanto a terceira componente do rotor é
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=e^{z}-e^{z}=0.

Passo 4

Conclusão sobre o rotor e independência do caminho.
  • Do cálculo acima obtemos
\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0).
  • Como o campo \mathbf{F} está definido em todo \mathbb{R}^{3}, que é um domínio simplesmente conexo, a condição \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} implica que \mathbf{F} é conservativo: existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
  • Logo a integral de linha de \mathbf{F} é independente do caminho em \mathbb{R}^{3}. (Isto responde a primeira parte do enunciado.)

Passo 5

Método para encontrar a potencial \varphi (explicação didática) e integração inicial.
  • Se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1=y e^{z},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_2=x e^{z},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_3=x y e^{z}.
  • Primeiro integro \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}=y e^{z} em relação a x, tratando y e z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\int y e^{z}\,dx = x y e^{z} + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária de y e z (a “constante” de integração que pode depender das outras variáveis).

Passo 6

Determinar h(y,z) usando as outras componentes.
  • Calculo \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y e^{z} + h(y,z)\bigr)=x e^{z} + \frac{\partial h}{\partial y}.
Mas sabemos que \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y} deve ser igual a F_2=x e^{z}. Igualando,
x e^{z} + \frac{\partial h}{\partial y}=x e^{z}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=0.
  • Da igualdade \frac{\partial h}{\partial y}=0 concluímos que h não depende de y, portanto h(y,z)=k(z), uma função apenas de z.

Passo 7

Determinar k(z) usando a terceira componente.
  • Agora escrevemos
\varphi(x,y,z)=x y e^{z} + k(z).
  • Calculo \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial z}:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y e^{z} + k(z)\bigr)=x y e^{z} + k'(z).
Mas \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial z} deve ser igual a F_3=x y e^{z}. Igualando,
x y e^{z} + k'(z)=x y e^{z}\quad\Longrightarrow\quad k'(z)=0.
  • Assim k(z) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial definido à adição constante), logo uma escolha conveniente para a potencial é
\varphi(x,y,z)=x y e^{z}.

Passo 8

Cálculo da integral de linha entre os pontos usando a potencial.
  • Como a integral é independente do caminho, podemos usar o teorema fundamental para gradientes:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(1,2,\ln 2\bigr)-\varphi\bigl(0,0,0\bigr).
  • Calculo \varphi\bigl(1,2,\ln 2\bigr):
\varphi\bigl(1,2,\ln 2\bigr)=1\cdot 2\cdot e^{\ln 2}=2\cdot 2=4,
pois e^{\ln 2}=2.
  • Calculo \varphi\bigl(0,0,0\bigr):
\varphi\bigl(0,0,0\bigr)=0\cdot 0\cdot e^{0}=0.
  • Portanto
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4-0=4.

Resposta

O campo é independente do caminho em \mathbb{R}^{3}.
\displaystyle 4

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