(g) Mostre que a integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(3 x^{2}+2 y, 2 x+4 y^{3}\right)
é independente do caminho no plano.
Em seguida, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde C é qualquer curva ligando (0,0) a (1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial e pede duas coisas:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y)=\bigl(3x^{2}+2y,\;2x+4y^{3}\bigr).
  • Mostrar que a integral de linha de \mathbf{F} é independente do caminho no plano.
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde C é qualquer curva que liga (0,0) a (1,2).
Informações importantes dadas ou implícitas:
  • O campo \mathbf{F} está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (não há singularidade).
  • Os pontos inicial e final são (0,0) e (1,2).

Passo 2

O que significa “integral independente do caminho” (explicação didática):
  • Dizer que a integral de linha de \mathbf{F} é independente do caminho entre dois pontos significa que, para quaisquer curvas suaves C_{1} e C_{2} que liguem o mesmo ponto inicial ao mesmo ponto final, tem-se
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Um método prático (usado em provas) para verificar independência de caminho no plano é checar se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Se existir, então a integral é independente do caminho e vale \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í.
  • Uma condição suficiente (e usualmente usada) para a existência de potencial em um domínio simplesmente conexo é que as derivadas parciais satisfaçam
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
onde \mathbf{F}=(P,Q).

Passo 3

Aplicando a condição às componentes do campo dado:
  • Identificamos P(x,y)=3x^{2}+2y e Q(x,y)=2x+4y^{3}.
  • Calculemos \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P=3x^{2}+2y, a derivada parcial de P em relação a y é
\frac{\partial P}{\partial y}=2.
  • Calculemos \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q=2x+4y^{3}, a derivada parcial de Q em relação a x é
\frac{\partial Q}{\partial x}=2.
  • Observamos que
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2.

Passo 4

Conclusão sobre independência do caminho (com explicação):
  • O domínio considerado é o plano inteiro \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conectado (ou seja, não tem “buracos”).
  • Como as derivadas parciais coincidem em todo o plano, pela condição suficiente acima existe uma função potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  • Portanto a integral de linha de \mathbf{F} é independente do caminho no plano. Em linguagem prática de prova: como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \mathbb{R}^{2}, \mathbf{F} é conservativo e a integral depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 5

Como encontrar a função potencial \varphi (passo-a-passo e didático):
  • Queremos \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=3x^{2}+2y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=2x+4y^{3}.
  • Integramos \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=3x^{2}+2y em relação a x, tratando y como constante. A integral termo a termo:
    • \displaystyle \int 3x^{2}\,dx = x^{3},
    • \displaystyle \int 2y\,dx = 2xy (porque y é constante na integração em x).
  • Logo, após a integração em x, obtemos uma expressão para \varphi que pode diferir de uma função apenas de y:
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy+g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida que aparece porque a derivação em x elimina termos que dependem só de y.
  • Agora usamos a condição \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y). Diferenciando a expressão acima em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x+g'(y).
  • Igualando ao Q dado:
2x+g'(y)=2x+4y^{3}.
  • Subtraindo 2x dos dois lados fica
g'(y)=4y^{3}.
  • Integramos g'(y) em relação a y:
g(y)=\int 4y^{3}\,dy= y^{4}+C,
onde C é constante arbitrária.
  • Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy+y^{4}+C.
A constante C não afeta diferenças \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í, então podemos escolher C=0 para simplificar.

Passo 6

Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha ( avaliação entre pontos):
  • Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, para qualquer curva C que liga (0,0) a (1,2) vale
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,2)-\varphi(0,0).
  • Calculemos \varphi(1,2) com \varphi(x,y)=x^{3}+2xy+y^{4}:
    • x^{3}=1^{3}=1,
    • 2xy=2\cdot1\cdot2=4,
    • y^{4}=2^{4}=16.
    • Somando: 1+4+16=21.
  • Calculemos \varphi(0,0)=0^{3}+2\cdot0\cdot0+0^{4}=0.
  • Portanto
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,2)-\varphi(0,0)=21-0=21.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que usei, para aplicar rápido no caderno):
  • Identifique P e Q.
  • Calcule \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x. Se iguais e o domínio for simplesmente conectado, o campo é conservativo.
  • Encontre \varphi integrando P em x (adicione função de y), depois ajuste com a igualdade para Q para achar essa função de y.
  • Use \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í. Isso evita parametrizar curvas e integrais longas.
  • Respire fundo: esse tipo de exercício é padrão e vale a pena decorar o roteiro — assim economiza tempo na prova.

Resposta

\displaystyle 21

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