(g) Mostre que a integral de linha do campo
é independente do caminho no plano.
Em seguida, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
Em seguida, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial e pede duas coisas:
- O campo vetorial é
. - Mostrar que a integral de linha de
é independente do caminho no plano. - Calcular
onde é qualquer curva que liga a .
Informações importantes dadas ou implícitas:
- O campo
está definido para todo (não há singularidade). - Os pontos inicial e final são
e .
Passo 2
O que significa “integral independente do caminho” (explicação didática):
- Dizer que a integral de linha de
é independente do caminho entre dois pontos significa que, para quaisquer curvas suaves e que liguem o mesmo ponto inicial ao mesmo ponto final, tem-se
- Um método prático (usado em provas) para verificar independência de caminho no plano é checar se existe uma função potencial
tal que . Se existir, então a integral é independente do caminho e vale . - Uma condição suficiente (e usualmente usada) para a existência de potencial em um domínio simplesmente conexo é que as derivadas parciais satisfaçam
onde
.
Passo 3
Aplicando a condição às componentes do campo dado:
- Identificamos
e . - Calculemos
. Como , a derivada parcial de em relação a é
- Calculemos
. Como , a derivada parcial de em relação a é
- Observamos que
Passo 4
Conclusão sobre independência do caminho (com explicação):
- O domínio considerado é o plano inteiro
, que é simplesmente conectado (ou seja, não tem “buracos”). - Como as derivadas parciais coincidem em todo o plano, pela condição suficiente acima existe uma função potencial
com . - Portanto a integral de linha de
é independente do caminho no plano. Em linguagem prática de prova: como em , é conservativo e a integral depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 5
Como encontrar a função potencial
(passo-a-passo e didático):
- Queremos
tal que
- Integramos
em relação a , tratando como constante. A integral termo a termo: -
, -
(porque é constante na integração em ).
-
- Logo, após a integração em
, obtemos uma expressão para que pode diferir de uma função apenas de :
onde
é uma função desconhecida que aparece porque a derivação em
elimina termos que dependem só de
.
- Agora usamos a condição
. Diferenciando a expressão acima em relação a :
- Igualando ao
dado:
- Subtraindo
dos dois lados fica
- Integramos
em relação a :
onde
é constante arbitrária.
- Assim uma função potencial é
A constante
não afeta diferenças
, então podemos escolher
para simplificar.
Passo 6
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha ( avaliação entre pontos):
- Como
, para qualquer curva que liga a vale
- Calculemos
com : -
, -
, -
. - Somando:
.
-
- Calculemos
. - Portanto
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento que usei, para aplicar rápido no caderno):
- Identifique
e . - Calcule
e . Se iguais e o domínio for simplesmente conectado, o campo é conservativo. - Encontre
integrando em (adicione função de ), depois ajuste com a igualdade para para achar essa função de . - Use
. Isso evita parametrizar curvas e integrais longas. - Respire fundo: esse tipo de exercício é padrão e vale a pena decorar o roteiro — assim economiza tempo na prova.