Ache o trabalhe total realizado pelo campo de forças
F(x, y)=3(x+y)^2 i+3(x+y)^2 j
ao deslocar uma particula ao longo do arco da parábola y=x^2 da origem até o ponto (2,4).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho total realizado pelo campo de forças vec F(x,y)=3(x+y)^2,vec i+3(x+y)^2,vec j ao deslocar uma partícula ao longo da parábola y=x^2 de (0,0) até (2,4). O conteúdo é integral de linha em campos de força e vamos precisar usar a ideia de campo conservativo e função potencial.

Passo 2

Para ver se podemos usar o teorema do gradiente, checamos se o campo é conservativo. Escrevendo vec F=(P,Q) com P=3(x+y)^2 e Q=3(x+y)^2, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=6(x+y), partial Qpartial x=6(x+y)
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora vamos achar a função potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=vec F. Integramos:
partialvarphipartial x=3(x+y)^2 implies varphi(x,y)=integral3(x+y)^2,dx=(x+y)^3+g(y)
Derivando isso em relação a y e igualando a Q vemos que g'(y)=0, logo podemos tomar
varphi(x,y)=(x+y)^3

Passo 4

Pelo teorema do gradiente, o trabalho é
W=varphil(2,4r)-varphil(0,0r)=(2+4)^3-0^3=6^3=216

Resposta

216

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