Considere o campo vetorial
(a) Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
(b) Encontre uma funç̧̃o potencial para o campo vetorial
.
(b) Encontre uma funç̧̃o potencial para o campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar a teoria de campos vetoriais no
, em particular o fato de que num domínio simplesmente conexo (como todo
) um campo é conservativo se e só se
, e depois resolver as equações diferenciais parciais para achar
.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo calculamos o rotacional (curl) lembrando que
Agora cada derivada:
Subtraindo, cada componente do rotacional é zero, logo
Passo 3
Como o domínio é todo
, que é simplesmente conexo, o fato de
garante que
é um campo conservativo.
Passo 4
Para achar a função potencial
satisfazendo
vamos integrar passo a passo. Primeiro integramos a primeira equação em
:
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 5
Agora usamos a segunda equação. Derivando
em relação a
:
e isso deve ser igual a
. Logo
Integrando em
:
onde
é ainda “constante” em relação a
.
Passo 6
Finalmente usamos a terceira equação. Derivando
em relação a
:
e isso deve igualar
. Assim
Integrando em
:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial pode ser escrita como
Passo 8
Podemos escolher a constante arbitrária
sem perda de generalidade. Aí fica a forma mais simples de
.
Resposta
A função potencial é
, com
constante arbitrária.