Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(4 x+2 y-z) i+(2 x-2 y+z) j+(-x+y+2 z) k
(a) Mostre que o campo vetorial F é conservativo.
(b) Encontre uma funç̧̃o potencial para o campo vetorial F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
F(x,y,z)=(4x+2y-z),i+(2x-2y+z),j+(-x+y+2z),k
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F. Para isso vamos usar a teoria de campos vetoriais no R^3, em particular o fato de que num domínio simplesmente conexo (como todo R^3) um campo é conservativo se e só se nablatimesF=0, e depois resolver as equações diferenciais parciais para achar f.

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo calculamos o rotacional (curl) lembrando que
nablatimesF=l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,;partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,;partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Agora cada derivada:
partial Fzpartial y=partial(-x+y+2z)partial y=1, partial Fypartial z=partial(2x-2y+z)partial z=1
partial Fxpartial z=partial(4x+2y-z)partial z=-1, partial Fzpartial x=partial(-x+y+2z)partial x=-1
partial Fypartial x=partial(2x-2y+z)partial x=2, partial Fxpartial y=partial(4x+2y-z)partial y=2
Subtraindo, cada componente do rotacional é zero, logo
nablatimesF=(0,0,0)

Passo 3

Como o domínio é todo R^3, que é simplesmente conexo, o fato de nablatimesF=0 garante que F é um campo conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f(x,y,z) satisfazendo
partial fpartial x=4x+2y-z, partial fpartial y=2x-2y+z, partial fpartial z=-x+y+2z,
vamos integrar passo a passo. Primeiro integramos a primeira equação em x:
f(x,y,z)=integral(4x+2y-z),dx=2x^2+2xy-xz+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 5

Agora usamos a segunda equação. Derivando f em relação a y:
partial fpartial y=2x+partial gpartial y
e isso deve ser igual a 2x-2y+z. Logo
2x+partial gpartial y=2x-2y+z impliespartial gpartial y=-2y+z
Integrando em y:
g(y,z)=integral(-2y+z),dy=-y^2+yz+h(z),
onde h(z) é ainda “constante” em relação a y.

Passo 6

Finalmente usamos a terceira equação. Derivando f em relação a z:
partial fpartial z=-x+y+dhdz
e isso deve igualar -x+y+2z. Assim
-x+y+dhdz=-x+y+2z impliesdhdz=2z
Integrando em z:
h(z)=z^2+C,
onde C é uma constante real.

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial pode ser escrita como
f(x,y,z)=2x^2+2xy-xz-y^2+yz+z^2+C

Passo 8

Podemos escolher a constante arbitrária C=0 sem perda de generalidade. Aí fica a forma mais simples de f.

Resposta

A função potencial é f(x,y,z)=2x^2+2xy - xz - y^2 + yz + z^2 + C, com C constante arbitrária.

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