Seja
uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(e)
então
é sobrejetora.
(e)
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
entre espaços vetoriais finito-dimensionais tais que
e pergunta se disso já segue que
é sobrejetora. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem) para transformações lineares.
Passo 2
Pelo Teorema Núcleo-Imagem, para qualquer transformação linear
vale
Passo 3
Como
, podemos reescrever
Para que
seja sobrejetora, precisamos ter
, ou seja
. Da última equação isso exige
, isto é,
teria que ser injetora. Mas nada no enunciado garante que
.
Passo 4
Um contraexemplo simples: seja
e defina
Aqui
, mas
é apenas uma reta em
, logo
não é sobrejetora.
Resposta
Falsa.