Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(e) Se dim(V)=dim(U) então T é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear Tcolon Vto U entre espaços vetoriais finito-dimensionais tais que dim(V)=dim(U) e pergunta se disso já segue que T é sobrejetora. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem) para transformações lineares.

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo-Imagem, para qualquer transformação linear Tcolon Vto U vale
dim(V)=diml(ker Tr)+diml(ImTr)

Passo 3

Como dim(V)=dim(U), podemos reescrever
dim(U)=diml(ker Tr)+diml(ImTr)
Para que T seja sobrejetora, precisamos ter ImT=U, ou seja dim(ImT)=dim(U). Da última equação isso exige dim(ker T)=0, isto é, T teria que ser injetora. Mas nada no enunciado garante que ker T=0.

Passo 4

Um contraexemplo simples: seja V=U= R^2 e defina
T(x,y)=(x,0)
Aqui dim(V)=dim(U)=2, mas ImT=(x,0)mid xin R é apenas uma reta em R^2, logo T não é sobrejetora.

Resposta

Falsa.

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