Seja
uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(a)
, então para quaisquer vetores
temos que
implica que
.
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
e afirma que
. Queremos verificar se disso segue que, para quaisquer
,
implica
. O conteúdo envolve núcleo de uma transformação linear e injetividade.
Passo 2
Lembramos que uma transformação linear
é injetora se, e somente se, sempre que
ocorre
. Mostraremos que
é equivalente à injetividade de
.
Passo 3
Suponha que existam
com
e
. Então
logo
. Como
, segue
, isto é,
, contradição. Portanto não pode ocorrer
com
, o que é equivalente a dizer que
implica
.
Resposta
Verdadeira.