Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(a) Se Nuc(T)=0, então para quaisquer vetores v, v^prime in V temos que v neq v^prime implica que T(v) neq T(v^prime).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:Vto U e afirma que Nuc(T)=0. Queremos verificar se disso segue que, para quaisquer v,v'in V, vneq v' implica T(v)neq T(v'). O conteúdo envolve núcleo de uma transformação linear e injetividade.

Passo 2

Lembramos que uma transformação linear T é injetora se, e somente se, sempre que T(v)=T(v') ocorre v=v'. Mostraremos que Nuc(T)=0 é equivalente à injetividade de T.

Passo 3

Suponha que existam v,v'in V com vneq v' e T(v)=T(v'). Então
T(v-v')=T(v)-T(v')=0,
logo v-v'inker(T). Como ker(T)=0, segue v-v'=0, isto é, v=v', contradição. Portanto não pode ocorrer vneq v' com T(v)=T(v'), o que é equivalente a dizer que vneq v' implica T(v)neq T(v').

Resposta

Verdadeira.

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