Ache a transformação linear T: R^3 R^2 sabendo T satisfaz as condições: T(1,0,0)=(1,1) ; T(0,1,0)=(-1,1) e T(0,1,1)=(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma transformação linear T: R^3 R^2 . A matéria que a gente vai usar aqui é de transformações lineares e matrizes associadas. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como elas podem ser representadas por matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é totalmente determinada pela forma como ela age nos vetores da base do espaço de partida. No nosso caso, o espaço de partida é R^3 , então a base padrão é formada pelos vetores e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) .

Passo 3

A transformação linear T pode ser representada por uma matriz A de tamanho 2 times 3 (porque vai de R^3 para R^2 ). Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base pela transformação T . Ou seja:
A = T(e1) & T(e2) & T(e3)

Passo 4

Vamos usar as condições dadas no enunciado para encontrar as imagens dos vetores da base.
  1. T(1,0,0) = (1,1)
    Isso significa que a primeira coluna da matriz A é 1 1 .
  2. T(0,1,0) = (-1,1)
    Então, a segunda coluna de A é -1 1 .
  3. T(0,1,1) = (0,1)
    Aqui, usamos a propriedade da linearidade:
T(0,1,1) = T(0,1,0) + T(0,0,1) = (-1,1) + T(0,0,1) = (0,1)
Resolvendo para T(0,0,1) :
T(0,0,1) = (0,1) - (-1,1) = (1,0)
Assim, a terceira coluna de A é 1 0 .

Passo 5

Com as colunas encontradas, a matriz A da transformação linear T fica:
A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0

Resposta

A transformação linear T é dada pela matriz:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 x y z
Ou, de forma explícita:
T(x, y, z) = (x - y + z, x + y)

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