Ache a transformação linear sabendo satisfaz as condições: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma transformação linear . A matéria que a gente vai usar aqui é de transformações lineares e matrizes associadas. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como elas podem ser representadas por matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é totalmente determinada pela forma como ela age nos vetores da base do espaço de partida. No nosso caso, o espaço de partida é , então a base padrão é formada pelos vetores , e .
Passo 3
A transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho (porque vai de para ). Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base pela transformação . Ou seja:
Passo 4
Vamos usar as condições dadas no enunciado para encontrar as imagens dos vetores da base.
Isso significa que a primeira coluna da matriz é .
T(0,1,0) = (-1,1)
Então, a segunda coluna de A é -1 1 .
T(0,1,1) = (0,1)
Aqui, usamos a propriedade da linearidade: