Considerando a transformação T: R^3 R^4, definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z, x+y+z)
faça o que se pede:
Encontre uma base para o núcleo dessa transformação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T colon R^3 to R^4, T(x,y,z) = (,x+y,;y+z,;x+z,;x+y+z,)
e pede uma base do núcleo de T. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo
T(x,y,z) = (0,0,0,0)

Passo 2

Escrevendo cada coordenada igual a zero, obtemos o sistema
x + y = 0, y + z = 0, x + z = 0, x + y + z = 0

Passo 3

Da primeira equação segue y = -x.
Substituindo na segunda, y + z = 0 -x + z =0, ou seja z = x.
Agora a terceira equação x + z =0 vira x + x = 2x = 0, de onde x=0.
Logo y=-x=0 e z=x=0. A quarta equação é então satisfeita automaticamente.

Passo 4

Só existe a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
ker(T)=(0,0,0),
que é o subespaço nulo.

Resposta

Uma base para ker(T) é o conjunto vazio, pois o núcleo é trivial.

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