Faça o que se pede:
De exemplo de uma base para R^4, de exemplo de uma base para R^3, dê exemplo de uma transformação linear T: R^4 R^3 e encontre a matriz dessa transformação com respeito às bases escolhidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de base para R^4, de base para R^3, de transformação linear T:R^4toR^3 e da matriz de T nessas bases. O conteúdo envolvido é definição de bases, definição de transformação linear e cálculo de matriz de transformação.

Passo 2

Escolhemos como base de R^4 a base canônica
B4 = ,e1=(1,0,0,0),;e2=(0,1,0,0),;e3=(0,0,1,0),;e4=(0,0,0,1)
e como base de R^3 a base canônica
B3 = ,f1=(1,0,0),;f2=(0,1,0),;f3=(0,0,1)

Passo 3

Definimos a transformação linear T:R^4toR^3 por
T(x1,x2,x3,x4) = l(x1 + 2x2 - x3,;3x2 + x4,;x1 - x4r)
Para obter a matriz de T nas bases B4 e B3, basta calcular T em cada vetor de B4 e expressar o resultado em coordenadas de B3.

Passo 4

Calculamos as imagens dos vetores de B4 e escrevemos em coordenadas de B3:
T(e1)=T(1,0,0,0)=(1,0,1)=1,f1+0,f2+1,f3,
T(e2)=T(0,1,0,0)=(2,3,0)=2,f1+3,f2+0,f3,
T(e3)=T(0,0,1,0)=(-1,0,0)=-1,f1+0,f2+0,f3,
T(e4)=T(0,0,0,1)=(0,1,-1)=0,f1+1,f2-1,f3
Esses coeficientes formam as colunas da matriz de T relativa às bases B4 e B3.

Resposta

A matriz de T em relação às bases B4 e B3 é
[T]B3,B4 = 1 & 2 & -1 & 0 0 & 3 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & -1

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