Considerando a transformação T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, 2 x+z)
Encontre uma base para a imagem dessa transformação.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y+z,;x-y,;2x+z)
Queremos uma base para a imagem de T. Sabendo que a imagem de uma transformação linear é o espaço gerado pelas imagens dos vetores da base canônica de R^3, vamos calcular T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 2

Seja e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1). Então
T(e1)=T(1,0,0) = (1+0+0,;1-0,;2cdot1+0) = (1,1,2),
T(e2)=T(0,1,0) = (0+1+0,;0-1,;2cdot0+0) = (1,-1,0),
T(e3)=T(0,0,1) = (0+0+1,;0-0,;2cdot0+1) = (1,0,1)

Passo 3

Vamos verificar se
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem e . A terceira confere: . Logo
o que mostra que é combinação linear de e . Portanto já gera toda a imagem e é LI.

Resposta

Uma base para Im(T) é
(1,1,2),;(1,-1,0)

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