Considerando a transformação T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, 2 x+z)
Encontre uma base para o núcleo dessa transformação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;x-y,;2x+z,)
e pede uma base de ker(T). O conteúdo é núcleo de transformação linear, que se encontra solucionando T(x,y,z)=(0,0,0).

Passo 2

Impondo T(x,y,z)=(0,0,0) obtemos o sistema homogêneo:
x + y + z = 0
x - y = 0
2x + z = 0

Passo 3

Da segunda equação x - y = 0 segue
y = x
Substituindo em x + y + z = 0 2x + z = 0, que coincide com a terceira equação, logo
z = -2x

Passo 4

Assim todo vetor no núcleo tem a forma
(x,y,z) = (x,,x,,-2x) = x,(1,1,-2)
Isso mostra que ker(T) é a reta gerada por (1,1,-2).

Resposta

Uma base para ker(T) é
(1,1,-2)

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