Ache a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(0,3,0)=(1,1), T(-1,0,0)=(0,-2), T(0,1,1)=(0,0).
(v) Encontre v \operatorname{de} \mathbb{R}^{3} tal que T(v)=(0,5).

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
cuja ação em três vetores geradores está dada por
T(0,3,0) = (1,1),\quad T(-1,0,0) = (0,-2),\quad T(0,1,1) = (0,0),
e em seguida, na parte (v), encontrar um vetor v\in\mathbb{R}^3 tal que T(v)=(0,5).
Para isso vamos:
  1. assumir a forma matricial genérica de T(x,y,z)=(a x + b y + c z,\; d x + e y + f z),
  2. impor as imagens fornecidas para resolver (a,b,c,d,e,f),
  3. obter a fórmula explícita de T,
  4. resolver T(v)=(0,5).

Passo 2

Assuma
T(x,y,z) = \bigl(a x + b y + c z,\; d x + e y + f z\bigr).
Impondo T(0,3,0)=(1,1) temos
(0\cdot a + 3b + 0\cdot c,\;0\cdot d + 3e + 0\cdot f) = (1,1) \;\Longrightarrow\; b=\tfrac13,\; e=\tfrac13.
Impondo T(-1,0,0)=(0,-2) temos
(-1\cdot a + 0 + 0,\;-1\cdot d + 0 + 0) = (0,-2) \;\Longrightarrow\; a=0,\; d=2.

Passo 3

Por fim, impondo T(0,1,1)=(0,0) e usando b=\tfrac13,\;e=\tfrac13
\bigl(0\cdot a + 1\cdot b + 1\cdot c,\;0\cdot d + 1\cdot e + 1\cdot f\bigr)=(0,0) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} \tfrac13 + c = 0,\\\ \tfrac13 + f = 0, \end{cases}
portanto
c = -\tfrac13,\qquad f = -\tfrac13.

Passo 4

Reunindo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac13 & -\tfrac13\\\\ 2 & \tfrac13 & -\tfrac13 \end{pmatrix},
ou seja
T(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{1}{3}y - \tfrac{1}{3}z,\;2x + \tfrac{1}{3}y - \tfrac{1}{3}z\Bigr).

Passo 5

Para achar v=(x,y,z)\) tal que \(T(v)=(0,5)\), resolvemos o sistema \[\begin{cases} \tfrac13\,y - \tfrac13\,z = 0,\\\\ 2x + \tfrac13\,y - \tfrac13\,z = 5. \end{cases}
Da primeira equação vem y=z\]. Substituindo na segunda: \[2x + \tfrac13(y - y)=5 \;\Longrightarrow\;2x=5 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac52.\] Logo a solução geral é \[v = \bigl(\tfrac52,\;t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.\] Um vetor particular que funciona é, por exemplo, \[v = \Bigl(\tfrac52,0,0\Bigr),\] pois aí \(T(5/2,0,0)=(0,5).

Resposta

Um vetor que satisfaz T(v)=(0,5) é
v = \bigl(\tfrac52,0,0\bigr).

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