Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -1 & -3\end{array}\right].
Calcule (se possível) as seguintes operações (explicar quando não for possível):
-A^{T} C^{T}+B;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
-\,A^{T}\,C^{T} + B.
O conteúdo envolvido é transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e soma de matrizes.

Passo 2

Primeiro vamos conferir dimensões para ver se as operações são possíveis:
A é de dimensão 3\times2, então A^{T} é 2\times3.
C é de dimensão 2\times3, então C^{T} é 3\times2.
Logo, podemos multiplicar A^{T} ( 2\times3) por C^{T} ( 3\times2) resultando numa matriz 2\times2.
Como B também é 2\times2, a soma -A^{T}C^{T}+B faz sentido.

Passo 3

Calcular as transpostas:
A = \begin{pmatrix}3 & 0\\\ -1 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{T} = \begin{pmatrix}3 & -1 & 1\\\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix},
C = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 5\\\ 1 & -1 & -3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad C^{T} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & -1\\\ 5 & -3\end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicar A^{T}C^{T}. Seja M = A^{T}C^{T}. Então
M_{11} = 3\cdot(-1) + (-1)\cdot0 + 1\cdot5 = -3 + 0 + 5 = 2,
M_{12} = 3\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-3) = 3 + 1 - 3 = 1,
M_{21} = 0\cdot(-1) + 2\cdot0 + 1\cdot5 = 0 + 0 + 5 = 5,
M_{22} = 0\cdot1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot(-3) = 0 - 2 - 3 = -5.
Logo,
A^{T}C^{T} = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 5 & -5\end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicar por -1 e somar com B. Temos
-\,A^{T}C^{T} = \begin{pmatrix}-2 & -1\\\ -5 & 5\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}4 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.
Somando termo a termo:
-\,A^{T}C^{T} + B = \begin{pmatrix}-2+4 & -1+(-1)\\\ -5+2 & 5+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2\\\ -3 & 5\end{pmatrix}.

Resposta

-\,A^{T}C^{T} + B = \begin{pmatrix}2 & -2\\\ -3 & 5\end{pmatrix}.

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