Questão 4 Considere o
-espaço vetorial
com o produto interno canônico. Sabendo apenas que
e
são dois subespaços vetoriais não triviais de
tais que
, é correto afirmar que
e que
? Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado considera dois subespaços não triviais
e
de
com produto interno canônico, tais que
Pergunta-se se necessariamente
Passo 2
Lembremos do Teorema do Complemento Ortogonal em
: para qualquer subespaço
vale
Logo, se
então
isto é, os subespaços teriam dimensões complementares somando 3. Só a condição
não garante
; garante apenas
.
Passo 3
Para dar um contra-exemplo basta escolher
e
cujas dimensões somem menos que 3. Por exemplo, seja
Então claramente
, pois um vetor não nulo em
tem primeira coordenada diferente de zero e em
tem segunda coordenada diferente de zero.
Passo 4
Calculemos os complementos ortogonais:
que é um plano e não coincide com a reta
. Analogamente
que é um plano distinto de
. Logo nem
nem
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
pois
mas
e
são planos, não coincidem com
nem com
.