Questão 4 Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{3} com o produto interno canônico. Sabendo apenas que W_{1} e W_{2} são dois subespaços vetoriais não triviais de \mathbb{R}^{3} tais que W_{1} \cap W_{2}=\{0\}, é correto afirmar que W_{1}^{\perp}=W_{2} e que W_{2}^{\perp}=W_{1} ? Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado considera dois subespaços não triviais W_{1} e W_{2} de \mathbb{R}^{3} com produto interno canônico, tais que
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
Pergunta-se se necessariamente
W_{1}^{\perp}=W_{2} \quad\text{e}\quad W_{2}^{\perp}=W_{1}.

Passo 2

Lembremos do Teorema do Complemento Ortogonal em \mathbb{R}^3: para qualquer subespaço W\subseteq\mathbb{R}^3 vale
\dim W + \dim W^\perp = 3 \quad\text{e}\quad W\oplus W^\perp = \mathbb{R}^3.
Logo, se W_{1}^{\perp}=W_{2} então
\dim W_{2} = \dim W_{1}^{\perp} = 3 - \dim W_{1},
isto é, os subespaços teriam dimensões complementares somando 3. Só a condição W_{1}\cap W_{2}=\{0\} não garante \dim W_{1}+\dim W_{2}=3; garante apenas \dim W_{1}+\dim W_{2}\le3.

Passo 3

Para dar um contra-exemplo basta escolher W_{1} e W_{2} cujas dimensões somem menos que 3. Por exemplo, seja
W_{1} = \operatorname{span}\{(1,0,0)\}, \quad W_{2} = \operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Então claramente W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, pois um vetor não nulo em W_{1} tem primeira coordenada diferente de zero e em W_{2} tem segunda coordenada diferente de zero.

Passo 4

Calculemos os complementos ortogonais:
W_{1}^{\perp} =\{(x,y,z)\mid (x,y,z)\cdot(1,0,0)=0\} =\{(0,y,z)\}=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\},
que é um plano e não coincide com a reta W_{2}. Analogamente
W_{2}^{\perp} =\{(x,y,z)\mid (x,y,z)\cdot(0,1,0)=0\} =\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\},
que é um plano distinto de W_{1}. Logo nem W_{1}^{\perp}=W_{2} nem W_{2}^{\perp}=W_{1}.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\},\quad W_{2}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\},
pois W_{1}\cap W_{2}=\{0\} mas W_{1}^{\perp} e W_{2}^{\perp} são planos, não coincidem com W_{2} nem com W_{1}.

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