Questão 3 A respeito de um operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} sabe-se que (1,1) e (-1,0) são autovetores 13 p . de T associados aos autovalores 2 \mathrm{e}-3, respectivamente.
(a) Calcule T(1,1) e T(-1,0).
(b) Encontre a expressão de T, ou seja, encontre T(x, y).

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e que os vetores (1,1) e (-1,0) são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovalores 2 e -3. O que precisamos usar é a definição de autovetor/autovalor e a linearidade de T, além de reconhecer que esses dois autovetores formam uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Pela definição de autovalor e autovetor,
T(1,1)=2\,(1,1)=(2,2)
e
T(-1,0)=-3\,(-1,0)=(3,0).

Passo 3

Como (1,1) e (-1,0) são independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^2. Dados (x,y)\in\mathbb{R}^2, escrevemos
(x,y)=a\,(1,1)+b\,(-1,0).
Comparando componentes temos
x = a - b, \quad y = a.
Logo
a=y, \quad b = y - x.

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(x,y) = a\,T(1,1) + b\,T(-1,0) = y\,(2,2) + (y - x)\,(3,0).
Calculando componente a componente,
\text{1ª componente: }2y + 3(y - x)=5y-3x, \quad \text{2ª componente: }2y + 0\cdot(y - x)=2y.ªª
Portanto
T(x,y) = (5y - 3x,\;2y).

Resposta

(a) T(1,1)=(2,2) e T(-1,0)=(3,0).
(b) \displaystyle T(x,y) = (\,5y - 3x,\;2y\,).

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