Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -1 & -3\end{array}\right].
Calcule (se possível) as seguintes operações (explicar quando não for possível):
\operatorname{tr}\left(A^{T} A\right)-4 \operatorname{det}\left(B^{T} B\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\operatorname{tr}(A^{T}A) - 4\,\det(B^{T}B).
Isso envolve a propriedade da traça para produtos de matrizes e a definição de determinante em matrizes quadradas.

Passo 2

Usamos a propriedade de norma de Frobenius: para qualquer matriz X,
\operatorname{tr}(X^{T}X)=\sum_{i,j}x_{ij}^{2}.
No caso de
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
temos
\operatorname{tr}(A^{T}A) = 3^{2} + 0^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 16.

Passo 3

Para \det(B^{T}B), primeiro calculamos
B^{T} = \begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},
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B^{T}B = \begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & -4 \\\\ -4 & 1\end{pmatrix}.
Assim,
\det(B^{T}B) = 20\cdot1 - (-4)\cdot(-4) = 20 - 16 = 4.

Passo 4

Substituindo na expressão original, obtemos
\operatorname{tr}(A^{T}A) - 4\,\det(B^{T}B) = 16 - 4\cdot4 = 0.

Resposta

0

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