Ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que T(1, 0, 0) = (2, 0), T(0, 1, 0) = (1, 1) e T(0, 0, 1) = (0, −1). Encontre v de R3 tal que T(v) = (3, 2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. As condições dadas são:
- $ T(1, 0, 0) = (2, 0) $
- $ T(0, 1, 0) = (1, 1) $
- $ T(0, 0, 1) = (0, -1) $
E queremos encontrar um vetor $ v \in \mathbb{R}^3 $ tal que $ T(v) = (3, 2) $. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a transformação linear $ T $ atua em qualquer vetor $ v = (x, y, z) $ de $ \mathbb{R}^3 $. Por propriedades das transformações lineares, sabemos que:
Substituindo pelas informações dadas:
Passo 3
Vamos calcular essa soma vetorial:
Então, temos que:
Passo 4
Agora, queremos que $ T(v) = (3, 2) $. Então, igualamos as componentes correspondentes:
Isso nos dá um sistema de equações lineares com três variáveis.
Passo 5
Como temos duas equações e três incógnitas, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher $ z $ como parâmetro livre. Seja $ z = t $, onde $ t $ é um número real qualquer.
Passo 6
Com $ z = t $, vamos resolver a segunda equação para $ y $:
Passo 7
Agora, substituímos $ y = t + 2 $ na primeira equação para encontrar $ x $:
Passo 8
Então, os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ em função de $ t $ são:
Portanto, o vetor $ v $ que satisfaz $ T(v) = (3, 2) $ é:
Para simplificar, podemos escolher um valor específico para $ t $. Por exemplo, se $ t = 0 $:
Resposta
Um vetor $ v $ que satisfaz $ T(v) = (3, 2) $ é $ v = \left( \frac{1}{2}, , 2, , 0 \right) $.