Ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que T(1, 0, 0) = (2, 0), T(0, 1, 0) = (1, 1) e T(0, 0, 1) = (0, −1). Encontre v de R3 tal que T(v) = (3, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. As condições dadas são:
  • $ T(1, 0, 0) = (2, 0) $
  • $ T(0, 1, 0) = (1, 1) $
  • $ T(0, 0, 1) = (0, -1) $
E queremos encontrar um vetor $ v \in \mathbb{R}^3 $ tal que $ T(v) = (3, 2) $. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação linear $ T $ atua em qualquer vetor $ v = (x, y, z) $ de $ \mathbb{R}^3 $. Por propriedades das transformações lineares, sabemos que:
T
Substituindo pelas informações dadas:
v = (x, y, z)

Passo 3

Vamos calcular essa soma vetorial:
T(v) = (2x, 0) + (y, y) + (0, -z) = (2x + y + 0, 0 + y - z) = (2x + y, y - z)
Então, temos que:
T(v) = (2x + y, y - z)

Passo 4

Agora, queremos que $ T(v) = (3, 2) $. Então, igualamos as componentes correspondentes:
T(v) = (3, 2)
Isso nos dá um sistema de equações lineares com três variáveis.

Passo 5

Como temos duas equações e três incógnitas, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher $ z $ como parâmetro livre. Seja $ z = t $, onde $ t $ é um número real qualquer.

Passo 6

Com $ z = t $, vamos resolver a segunda equação para $ y $:
z = t

Passo 7

Agora, substituímos $ y = t + 2 $ na primeira equação para encontrar $ x $:
y = t + 2

Passo 8

Então, os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ em função de $ t $ são:
x
Portanto, o vetor $ v $ que satisfaz $ T(v) = (3, 2) $ é:
y
Para simplificar, podemos escolher um valor específico para $ t $. Por exemplo, se $ t = 0 $:
z

Resposta

Um vetor $ v $ que satisfaz $ T(v) = (3, 2) $ é $ v = \left( \frac{1}{2}, , 2, , 0 \right) $.

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