A integração por partes é uma técnica utilizada para integrar o produto de duas funções. Calcule a integral indefinida de x.sen(x)
-x . cos ( x ) + cos ( x ) + C.
-x . sen ( x ) - cos ( x ) + C.
-x . cos ( x ) - sen ( x ) + C. x . cos ( x ) - sen ( x ) + C.
-x . cos ( x ) + sen ( x ) + C.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida de $ x \cdot \sin(x) $. O assunto aqui é integração por partes, uma técnica usada para integrar o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa função serão $ u $ e $ dv $ na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Neste caso, temos $ u = x $ e $ dv = \sin(x) , dx $. Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $.

Passo 3

Calculando $ du $ e $ v $:
du
Para encontrar $ v $, integramos $ dv $:
v

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cdot sin(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 1 , dx
= -x cos(x) + integral cos(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar $ \cos(x) $:
cos(x)
Substituindo de volta na equação:
integral cos(x) , dx = sin(x)

Resposta

A integral indefinida de $ x \cdot \sin(x) $ é:
x cdot sin(x)

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