Ache a transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,0)=(3,0,5), e T(0,1)=(2,3,0). Encontre v de R^3 tal que T(v)=(0,9,-10).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
,Tcolon R^2toR^3
com
T(1,0) = (3,0,5), T(0,1) = (2,3,0),
e pede um vetor v (no domínio R^2) tal que
T(v) = (0,9,-10)
O conteúdo é usar a linearidade de T para expressar T(x,y) em função de x e y e depois resolver um sistema linear.

Passo 2

Seja v = (x,y). Pela linearidade de T temos
T(x,y) = x,T(1,0) + y,T(0,1) = x,(3,0,5) + y,(2,3,0) = l(3x+2y,;3y,;5xr)

Passo 3

Queremos
(3x+2y,;3y,;5x) = (0,9,-10)
Isso gera o sistema
3x + 2y = 0, 3y = 9, 5x = -10
Da segunda equação segue
3y = 9 implies y = 3,
e da terceira
5x = -10 implies x = -2
Verificando a primeira:
3(-2) + 2cdot 3 = -6 +6 =0,
está coerente.

Resposta

v = (-2,3)

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